Cuando los problemas no tienen (una) solución

Por Pablo Rodríguez, el 29 septiembre, 2020. Categoría(s): Física • Matemáticas • Textos ✎ 3

Hay quien define las matemáticas como el arte de resolver problemas, de encontrar soluciones. Las matemáticas que aprendemos en el colegio, además, nos acostumbran a pensar que los problemas siempre tienen solución. Concretamente UNA solución.

La idea de que los problemas matemáticos siempre tienen una solución salta por los aires también en el colegio, cuando la aritmética básica da lugar al álgebra básica. Para entonces, hemos sido bombardeados tan masivamente con ejercicios de aritmética, que es fácil que la idea pase desapercibida.

¿Y qué es el álgebra?, pues ni más ni menos que el mundo de las ecuaciones y la misteriosa x. Una ecuación es, bastante literalmente, una pregunta. Cuando pedimos resolver x + 1 = 5 estamos preguntando qué puede haber oculto detrás de x para que la ecuación sea verdad. Al igual que sucede con las preguntas en lenguaje llano, las preguntas en forma de ecuación pueden tener varias respuestas, ¡o ninguna!… y este sencillo hecho ha tenido una enorme relevancia, nada menos, que en la historia de la ciencia.

Acompáñenme y veamos algunos ejemplos.

Problemas con dos soluciones y el descubrimiento de las antipartículas

La ecuación de arriba nos pregunta, «¿qué número al cuadrado nos da uno?». Como quizá sepan, esta pregunta tiene dos respuestas posibles: 1 y -1.

Una ecuación no muy distinta de esta fue la que se encontró Paul Dirac en 1928. Dirac condensó en una sola ecuación mucho de lo que se sabía hasta la fecha sobre mecánica cuántica y teoría de la relatividad. Esta ecuación se podía utilizar, entre otras cosas, para calcular la energía de una partícula. Y resultó ser una ecuación con dos soluciones… una positiva y otra negativa.

En un principio, Dirac pensó que la solución negativa no tenía sentido físico (una energía negativa es algo tan raro como una masa negativa). Sin embargo, no tardó en darse cuenta de que todo aquello tenía un significado más profundo: significaba que podían existir partículas con las cargas «invertidas», como por ejemplo electrones positivos (positrones).

Estas extrañas «antipartículas», de hecho, se detectaron experimentalmente tan sólo 4 años después. En 1933 esta predicción le valió a Dirac el premio Nobel de física, que compartió con Erwin Schrödinger.

Hoy en día entendemos los positrones lo suficientemente bien como para poder utilizarlos en aplicaciones de radiofísica médica. Todo un logro si tenemos en cuenta que hablamos de unas partículas cuya mera existencia se «descubrió» gracias a una ecuación con dos soluciones.

Problemas con cero soluciones y el nacimiento de una nueva rama de las matemáticas

Hay solamente dos maneras de no tener una solución: tener más de una… o tener cero. Suena misterioso, pero no lo es tanto. No olvidemos que una ecuación es una pregunta. Y no es difícil inventarse una pregunta que no tenga solución, como por ejemplo: «¿qué ser humano vivo tiene una edad mayor de 300 años?» o «¿en qué país asiático se encuentra la ciudad de Palencia?».

La ecuación sin solución más importante de la historia de las matemáticas es esta:

El problema que tiene esta ecuación es que ningún número al cuadrado puede ser negativo. Al menos no ningún número «normal». O lo que es lo mismo, la raíz cuadrada de un número negativo no tiene sentido. Al menos no un sentido normal.

En el siglo XVI, Girolamo Cardano se dió cuenta de que inventarse una solución para esta ecuación podía resultar práctico para expresar que se había topado con la raíz de un número negativo. De modo que, literalmente, se inventó un nuevo número, que llamaremos i, y lo definió como «el número cuyo cuadrado es menos uno».

Han leído bien. Cardano se inventó la solución. ¿Vaya morro, no?

Lo bonito del caso es que podemos utilizar operaciones que ya conocemos sobre i. Es como si una nueva ficha hubiera entrado en nuestro tablero de ajedrez. Podemos, por ejemplo sumarlo a un número «normal» para obtener lo que se conoce como un número complejo (por ejemplo 2 + i o 5 – 3i), y hacer operaciones con ellos. Es un objeto matemático muy sencillo, que invita a «jugar» con él.

Sucesivos matemáticos como Euler, Wessel, Argand o Gauss jugaron, y mucho, con estos números. Los operaban, los representaban, y se atrevieron incluso a meterlos dentro de funciones como el seno, el coseno o la exponencial… a ver qué pasaba (no muy distinto a cuando un niño tira cosas al suelo para ver si se rompen). Conceptos como el de derivada o integral de una función tuvieron que ampliarse para aceptar este tipo de números y… lo que sucedió a continuación fue alucinante.

Si dejamos que las funciones trabajen con números complejos, hay montones de teoremas matemáticos que, lejos de complicarse, se simplifican. También hay operaciones que de pronto se vuelven más fáciles.

La contribución de los números complejos va más allá del mundo de la matemática abstracta. Tienen aplicaciones directísimas en problemas prácticos tan variados como la propagación de calor, la transmisión de ondas, la electrónica o el diseño de alas de avión.

No es mala contribución para un número inventado.

Problemas con infinitas soluciones

Han leído bien. Existen problemas con infinitas soluciones. Es más, estoy seguro de que conocen muchos. ¿Les suena esta ecuación?

Es la segunda ley de Newton y, si conocemos la fuerza F, nos sirve para calcular el movimiento de una masa puntual. Por ejemplo, si la fuerza resulta ser el peso (esto es, la fuerza de la gravedad), la segunda ley de Newton se reduce a:

Aquí viene lo bonito. Si resolvemos esta ecuación, obtendremos las ecuaciones de movimiento de cualquier objeto pequeño en caída libre. Pero… un objeto en caída libre puede caer de muchas maneras. Puede comenzar volando hacia arriba, como la pelota de un malabarista, o puede comenzar con velocidad nula, como un vaso que se cae de una mesa. Puede caer, de hecho, ¡de infinitas maneras!

Resolver esta ecuación es un pelín complicado, pero seguramente el lector recuerde algo llamado ecuación del «movimiento uniformemente acelerado». Se trata de la llamada «solución general» de la ecuación de caída libre que tenemos entre manos. La estudiábamos en el instituto, y tiene este aspecto:

Dependiendo de los valores de x0 (que representa la posición inicial) y de v0 (la velocidad inicial) La partícula se moverá de una forma u otra. ¿Y cuántas posibles combinaciones de x0 y v0 existen?, exacto, ¡infinitas! En la gráfica de abajo podemos ver algunas de ellas.

¿Significa esto que nuestra solución general es inútil?, para nada. Incluso sin conocer la solución concreta, de la solución general podemos deducir muchas cosas. Para empezar, todas las soluciones tienen «la misma pinta». Vemos que un objeto en caída libre no puede oscilar, o que si esperamos el tiempo suficiente, todo termina por caer.

Y es que las matemáticas, queridos lectores, distan mucho de ser el terreno árido que muchos tienen en mente; ese terreno en el que A lleva inexorablemente a B. Las cosas no siempre son tan directas ni tan simples. Por fortuna.



3 Comentarios

  1. Excelente artículo. Si yo fuera profesor de matemáticas en primaria empezaría explicando algunas cosas así. Es imposible que a un niño le gusten las matemáticas si no saben para que sirven.

    1. Completamente de acuerdo.
      De hecho, estoy convencido que los buenos profesores son precisamente, los que hacen eso que comentas: encontrar (o inventar) la manera de que a los alumnos les interesen las materias que les va a enseñar, por ejemplo, empezando por explicar para que sirven.

  2. Excelente articulo. En 3 BUP, di los logaritmos. Me parecio el colmo del absurdo matematico, hasta que alguien me explico que, la cantidad de operaciones que ahorraban, antes sin calculadoras, habia permitido construir edificios… Y ahi empezo mi curiosidad por algo que siempre habia odiado. Su explicacion hace que amemos las matematicas

Deja un comentario

Por Pablo Rodríguez, publicado el 29 septiembre, 2020
Categoría(s): Física • Matemáticas • Textos