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Como algunos de ustedes saben, yo soy físico. A pesar de ello, trabajo como matemático en un departamento de… ¡ecología acuática! Esta situación, además de generarme una considerable crisis de identidad, hace que dedique bastante tiempo a pensar sobre ese concepto tan difuso y tan de moda que es la “multidisciplinaridad”.

La idea subyacente tras el concepto de multidisciplinaridad es que no es posible acotar el conocimiento en ramas fijas, motivadas fundamentalmente por la tradición académica. Las fronteras entre las diferentes disciplinas son difusas. Por poner dos ejemplos claros: no se puede trazar una línea sólida entre la física y las matemáticas (¿dónde empieza la mecánica y dónde acaba el análisis?), ni entre la física y la química (¿dónde acaba la mecánica cuántica y dónde empieza la estructura molecular?). Un equipo multidisciplinar ideal contendría expertos en diversas materias, ampliando así el alcance de los problemas que puede abordar. Se espera, además, que en equipos como estos se produzcan momentos “de epifanía”, llamada “transferencia del conocimiento” en este contexto, en los cuales todo el grupo aprende y adopta alguna idea o método procedente de otra disciplina.

La idea suena bien, pero su implementación práctica tiene algunas dificultades dignas de mención. Para empezar, estos grupos suelen crearse dentro de departamentos tradicionales, de modo que una disciplina suele estar sobrerrepresentada (en mi caso, la biología) con la inercia que eso conlleva. De ahí que se diga, medio en serio medio en broma, que un grupo multidisciplinar es un departamento tradicional que contrató a un físico para ayudar con las simulaciones.

Uno podría pensar (al menos yo lo hacía) que la mayor dificultad para adaptarse a trabajar con un equipo multidisciplinar reside en adquirir los conocimientos necesarios de las disciplinas ajenas. Curiosamente, mi experiencia ha sido que esta dificultad es secundaria: precisamente por estar en un equipo multidisciplinar siempre tienes acceso a quien te pueda echar una mano. Entonces, ¿cuál es la principal dificultad? Sin duda, la comunicación, y además a un nivel muy profundo. Diferentes disciplinas utilizan no sólo diferentes tecnicismos (esto es lo de menos), sino también diferentes herramientas y, lo más serio de todo, existen diferentes culturas académicas.

Y esto de las culturas académicas no es cosa baladí. Ha llegado un punto en el que puedo identificar a un físico, ingeniero o matemático simplemente por la cara que pone cuando digo: “En mi departamento solamente yo uso LaTeX”. Parecen pequeños detalles, pero llegan a afectar incluso a la forma de escribir artículos o de resolver (y hasta de plantear) problemas. A continuación veremos algunos ejemplos.

En mi día a día colaboro con biólogos y matemáticos en el planteamiento, análisis y resolución de modelos matemáticos de interés en biología. En ambos grupos he observado formas de trabajar que me gustan y otras… que me gustan menos.

Entre los matemáticos es de destacar el cuidado exquisito que ponen en la notación, y hasta qué punto plantean los problemas en todo detalle. Por otro lado, son bastante reacios a utilizar métodos numéricos, incluso cuando no queda más remedio.

En cuanto a los biólogos, llama la atención que no hay problema, por complejo que sea, que les asuste. Además, no dudan en sacar toda la artillería numérica a la primera oportunidad. Al contrario que los matemáticos, suelen plantear los problemas de forma mucho más nebulosa, e ir especificando detalles sobre la marcha. Quizá lo que menos me gusta es que muchos journals de biología aplican a rajatabla aquella máxima de “cada ecuación divide entre dos el número de lectores”, prefiriendo escribir larguísimos párrafos que se podrían resumir en una sola ecuación (si uno tiene suerte, la encontrará en el apéndice).

Estoy seguro de que ellos también verán raras algunas costumbres de los físicos. De hecho, no deja de ser sintomático que, desde mi punto de vista, matemáticos y biólogos se encuentren en los dos extremos de un continuo (rigor vs. resolución rápida de problemas) en cuyo centro curiosa y sospechosamente está la física.

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Y es que no hay que olvidar que los grupos de investigación son grupos humanos, con sus vicios, virtudes, intereses, inercias, etcétera. En un grupo multidisciplinar la comunicación debe ser fluida no solamente desde un punto de vista de transmisión de la información, sino que se requiere cierta empatía. Tanto para entender las diferencias con los otros (pueden gustarte más o menos, pero suele haber una razón para todas ellas) como para que la “transferencia de conocimiento” sea tal y no un mero “quita, que tú no sabes”.

Quizá el mejor resumen de la situación es que, tras más de dos años trabajando en un grupo multidisciplinar, no sabría decir si lo amo o lo odio. Sea como fuere, me atrevo a dejar por aquí algunos consejos, por si pudieran ser de provecho:

Entiende sus métodos

La primera reacción cuando nos encontramos con un método al que no estamos acostumbrados suele ser de rechazo visceral (véase, por ejemplo, las broncas que se arman sobre notaciones para la derivada). Mi experiencia es que, incluso si al final decidimos que “nuestro” método funciona mejor, suele valer la pena pararse a entender los motivos para utilizar uno diferente.

Explica tus métodos

Ejemplo práctico: soy el único estudiante que usa LaTeX en mi departamento, incluidos mis directores de tesis. Al comienzo del proyecto les expliqué mis motivaciones para hacer esto, y llegamos a un acuerdo de mínimos sobre cómo colaborar sin necesidad de que ellos tuvieran que aprender LaTeX.

Aprende a tu manera

Es muy posible que las fuentes que utilizan tus compañeros, directores, etcétera, no sean las ideales para ti. En el caso de la biología matemática, hay libros y journals más o menos inclinados hacia enfoques más biológicos o más matemáticos. A la hora de aprender nuevas ideas, procuro utilizar las últimas. No desperdicies los puntos fuertes que te proporcionó tu carrera. A la hora de publicar, una vez más, tendrás que llegar a acuerdos con tus colaboradores sobre dónde hacerlo.

Reparte tu tiempo de forma lógica

Los grupos multidisciplinares rara vez tienen una composición uniforme. Ejemplo práctico: si eres el único estadístico en un departamento de medicina que contenga médicos, químicos y biólogos, es muy probable que todo el mundo esté interesado en tu ayuda. Probablemente, al contrario, solamente unos pocos proyectos de tus compañeros sean interesantes para ti. Esta situación puede convertirse en un problema si no estableces unos límites razonables sobre cuánto tiempo invertir en ayudar a otros.

Al final, tu tesis es tuya

Formar parte de un grupo multidisciplinar no significa abandonar por completo tus intereses y formación previa. Al final, el responsable de tus publicaciones eres tú. Tus directores están, por así decirlo, en el asiento del copiloto.

No pidas perdón por ser físico, biólogo, …

Si tu disciplina se encuentra en minoría dentro del grupo o, peor aún, si eres el único representante de la misma, es posible que sientas que no vale la pena dar tu opinión. Esto es un error. Es precisamente en esas situaciones, cuando tienes que decir algo que nadie ha dicho antes, cuando más probable es que se aporte algo significativo al debate.

Al fin y al cabo, para eso te contrataron, ¿no?

En mi caso fue más bien un fin de licenciatura (concretamente, licenciatura en física, especialidad de física fundamental), título que más adelante se consideró equivalente al de máster. Como siempre, hablo desde mi experiencia personal (no tengo otra), con la certeza de que a más de uno le resultará familiar mi historia.

Aquel fue un año* que no olvidaré mientras viva. Comenzó con una dificultad práctica: acababa de romper con mi pareja, y en solitario no podía afrontar fácilmente los gastos de vivir emancipado. Tomé la difícil decisión de regresar a casa de mis padres, trabajar menos horas y centrarme en terminar mi último año de carrera.

Por fortuna tenía pocas horas de clases presenciales, lo cuál me ahorraba el viaje diario a la facultad (paseo + autobús + metro + paseo = 1h 45m, multiplicado por dos para volver). Esto me permitía pasar días enteros estudiando en la biblioteca pública de mi localidad, Guadalajara. Por curiosidad, anoté las horas que pasé estudiando durante aquel último curso, parando el cronómetro cada vez que me levantaba de la silla. El resultado fue un promedio de algo menos de 6 horas al día, festivos incluídos. Y no crean que me quejo, era una gozada disponer de tiempo para estudiar.

Quiso el destino que también ese año mi padre quedase desempleado. Decidió prepararse para una oposición bastante competitiva, de modo que ambos pasábamos estudiando la mayor parte del día.

Aunque no se exigía ningún trabajo de fin de licenciatura, existía la opción de hacer un trabajo académicamente dirigido (TAD). Escogí hacer uno con el departamento de óptica. Consistía en “enseñar” a un sistema compuesto por dos webcams a percibir la profundidad de campo de forma parecida a como lo hacen nuestros ojos, esto es, comparando las ligeras diferencias entre ambas imágenes. Aunque lógicamente he olvidado algunos detalles, aún recuerdo los conceptos clave, procedimientos, libros y paquetes de software que utilicé para escribir mi código, que naturalmente conservo. Opino que mi TAD no era demasiado elegante, pero logré que el cacharro funcionara y obtuve una buena nota. Y lo más importante, gracias a este TAD una empresa de diseño de lentes se interesó por mí, pero con una condición: tenía que estar licenciado en Junio y no en Septiembre. Por cierto, años después, en otro empleo, mis actuales jefes mostraron curiosidad por ese TAD. Diez minutos después, tenían una copia en su bandeja de entrada, que ustedes también pueden consultar aquí.

Durante mi último año, enseñé a "ver" a este trasto
Durante mi último año, enseñé a “ver” a este trasto

A pesar de las panzadas a estudiar que me metía, suspendí (y con razón) una asignatura en Febrero. Electrónica I se convirtió en una fuente de tensión (hilarante juego de palabras) durante todo aquel año. Dado que sólo es posible presentarse a dos convocatorias por año, si la volvía a suspender en Junio (solicitando una convocatoria extraordinaria) retrasaría mi fecha de licenciatura hasta Febrero del año siguiente. Si decidía presentarme en Septiembre con más calma, probablemente perdería el empleo que me habían ofrecido. Decidí arriesgarme y por fortuna, tras muchas horas de estudio, conseguí aprobarla en Junio.

El resto de asignaturas fueron mucho mejor. Recuerdo con especial cariño las de Análisis funcional, cuyos apuntes ayudé a elaborar (es posible que mi nombre aún aparezca en los agradecimientos), la fascinante Física estadística, y también Procesos moleculares, cuyo examen, a juzgar por la cantidad de estudiantes que lo entregamos a la profesora con lágrimas en los ojos, fue para muchos de nosotros el último de la carrera. Pocas semanas más tarde comenzaba a trabajar con los diseñadores de lentes, en lo que entonces pensé sería mi despedida definitiva de la universidad… pero esa es otra historia.

Llegados a este punto, algunos de ustedes pensarán que aquel fue un año lleno de sufrimientos. Nada más lejos. Todavía hoy lo considero el año más creativo de mi vida**. No negaré que hubo momentos en los que el estrés me pasó factura, pero en términos generales no me he sentido tan inspirado durante tanto tiempo seguido ni siquiera durante mi actual doctorado. Quien no ha conocido esta sensación, se ha perdido lo mejor de la universidad.

Por cierto, al final mi padre consiguió la plaza.

Fue un año inolvidable.

*: Por aquel entonces, mis años comenzaban y acababan a mediados de Septiembre. Eran años académicos. El presente texto se refiere al período entre Septiembre de 2011 y Junio de 2012.

**: Incluso a día de hoy aún me proporciona alegrías: hace poco me pidieron que tradujese al inglés un trabajo sobre transformación conforme aplicada a dinámica de fluidos que escribí entonces.

An English translation of this text is available here.

Hace poco comencé una estancia en la Universidad Friedrich Schiller, en Jena, Alemania. Para mi sorpresa, mi despacho durante los próximos meses se encuentra nada menos que en la planta decimoctava de un rascacielos. Se trata concretamente del Jentower, que pueden ver en la fotografía:

Jentower

Pero no es mi intención presumir de las vistas de mi oficina. Al contrario, tiraré por tierra cualquier posible glamour relativo a trabajar en un sitio así. Y lo haré con una confesión: me he convertido en el loco que deja un móvil en el suelo cuando usa el ascensor. Me explicaré:

Un edificio de casi 150 metros necesita ascensores rápidos. Los de este edificio tienen una aceleración tan vertiginosa que asusta. Entonces recordé que los smartphones suelen tener un acelerómetro, de modo que me propuse medir dichas aceleraciones.

Para ello, instalé una aplicación llamada Google Science Journal, que permite registrar datos procedentes de todos los sensores disponibles en el teléfono (acelerómetros, intensidad luminosa, declinación magnética, …) y exportarlos en un formato (.csv) muy fácil de analizar en un ordenador. ¡Si te gusta trastear, instálatela ya!

En la siguiente figura podemos ver el perfil de aceleración vertical durante mi subida de esta mañana, dónde claramente se aprecian el “acelerón” inicial (segundos 9 a 14) y el frenazo final (28 a 33):

Aceleración vertical (excluyendo la gravedad)
Aceleración vertical (excluyendo la gravedad)

¡Nada menos que aceleraciones de 1 m/s^2 sostenidas durante unos 4 segundos!, ¡normal que dé vértigo!

Ya que tenemos estos datos, veamos si podemos sacar algo más. Si conocemos la aceleración en función del tiempo, podemos utilizarla para calcular la velocidad y la posición. ¿Cómo? Como quizá recuerden de la física del instituto, posición, velocidad y aceleración se relacionan a través de derivadas. Concretamente:

diff

Esto nos permite calcular la velocidad derivando la posición, y una vez calculada, derivar la velocidad para calcular la aceleración. Como en una cadena de montaje. Sin embargo, en el caso que nos ocupa la aceleración es el punto de partida, no la posición. Por fortuna, podemos usar integrales indefinidas para “darle la vuelta” a las derivadas y, por tanto, a toda la “cadena de montaje”:

int

Usando esta receta se puede integrar la aceleración para calcular la velocidad, y a continuación, integrar la velocidad para calcular la posición. Los resultados tienen este aspecto:

Aceleración, velocidad y posición
Aceleración, velocidad y posición

Así, gracias a un aparato que casi todos llevamos encima y usando conceptos de física de bachillerato podemos descubrir que los ascensores se disparan a 4 metros por segundo. Adicionalmente, también sabemos que mi oficina está a unos 74 metros sobre el suelo. ¡Qué gran siglo para ser un empollón!

Si alguien está interesado en indagar en los detalles (por ejemplo: cómo eliminar los efectos de la gravedad, cómo efectuar la integral de una serie temporal, …), o incluso experimentar con su propio ascensor, aquí dejo el código utilizado.

Nota previa: para profundizar más en el tema “arte y ciencia”, recomiendo leer a @deborahciencia y @puratura. Además de ser científicas, sus conocimientos de arte van mucho más allá que los de este simple aficionado que escribe. La última de ellas ha tenido la gentileza de revisar el presente artículo.

La taxonomía del conocimiento es siempre problemática. ¿Dónde acaban las matemáticas y empieza la física?, ¿y la frontera entre la física y la química, dónde la trazamos? Siendo así las cosas, uno se ve tentado de abandonar todo intento de clasificación y a hablar, simplemente (o no) de “sabiduría”. Ahora bien, ¿se imaginan ustedes matricularse en la carrera de “Sabiduría”?, ¿acudir a las clases de “Introducción a la sabiduría”, “Sabiduría 1” y “Sabiduría avanzada”? Al fin y al cabo, estas clasificaciones, aunque sean difusas, son útiles desde un punto de vista práctico.

Una de las fronteras aparentemente más claras se da entre artes y ciencia, llegando incluso a existir cierta desconfianza mutua entre artistas y científicos. Sin embargo, esta frontera también es difusa. Mucho se ha hablado, por ejemplo, sobre la contribución de la ciencia a las artes a través de las tecnologías. También de la contribución de las artes a la ciencia como fuente de inspiración (véase, por ejemplo, esta excelente colección sobre la influencia de la mitología en la ciencia, por @DaniEPAP).

Y por aquí viene uno de los problemas. Eso de la “inspiración” suena más bien sutil, casi esotérico, y a muchos científicos les hace levantar la ceja. Sin embargo, hay mucho más. A lo largo de mi (todavía joven) carrera he encontrado que las artes, además de proporcionarme placer, me ha proporcionado algunas herramientas tremendamente útiles en mi día a día como científico. Con la breve lista que presento a continuación, espero convencer incluso al más utilitarista de mis lectores:

Literatura:

Escribir es, probablemente, la principal actividad de cualquier científico. Unos conocimientos básicos de estilos de escritura pueden ser extremadamente beneficiosos. Lo mejor de todo es que la forma de aprender a escribir bien es muy placentera: se aprende a escribir bien leyendo a quien escribe bien. Es cierto que los artículos científicos usan, por lo general, un estilo tremendamente particular (tanto, que a veces cuesta creer que hayan sido escritos por seres humanos). Es muy posible que al científico se le exija adaptarse a este estilo al escribir sus artículos, ¿qué utilidad tiene pues conocer estilos diferentes? En primer lugar, no todo lo que escribe un científico son artículos científicos: también escribe notas de prensa, e-mails, pósters, … y cada uno de estos medios tiene sus propios estilos. Por otro lado, algunos estudios indican que los artículos mejor escritos reciben, por lo general, más citas.

Teatro:

¿Has estado en un congreso?, pregúntate cuántas charlas recuerdas y por qué. En toda exposición oral, la oratoria del ponente es tan relevante o incluso más que los propios contenidos. Una charla con buenos contenidos, pero plagada de titubeos y miedo escénico, será una auténtica tortura para los asistentes. Un orador que no preste atención a las reacciones de los asistente, que no sepa valorar la relevancia de cada sección de su propia charla, seguramente perderá el interés de la audiencia al poco tiempo de empezar. Por otro lado, una charla con contenidos más mediocres, pero con un orador brillante, será (como mínimo) recordada cuando el congreso termine. Unas nociones básicas sobre teatro, sobre cómo contar historias, cómo mantener contacto con el público, o incluso conocimientos de magia y prestidigitación pueden resultar de enorme ayuda. Como dicen en Los Simpson: un buen científico es mitad erudito mitad feriante.

Diseño gráfico:

¿Sabes cuál es la peor pesadilla de un diseñador gráfico?: quedar atrapado en una sesión de pósters científicos. Las sesiones de presentaciones científicas no van a la zaga en cuánto a horror estético. La mayoría de la gente desconoce que existen ciertas reglas no escritas (o quizá sí, ver referencias más abajo) a la hora de diseñar tanto pósteres como presentaciones. Algunas son sutiles, como no usar las mismas figuras en un paper y en un póster o una presentación (pues van a ser leídas desde distancias muy diferentes, además de requerir distinto nivel de detalle). Otras todo el mundo las conoce, pero casi nadie las pone en práctica (por ejemplo, no abusar del texto o no pasarse de tiempo). Por último, hay errores tan obvios que sonroja ver que persisten (como añadir una diapositiva con 25 referencias, que permanecerá en pantalla unos 3 segundos).

La ilustración científica es probablemente el ejemplo más claro de relaciones prácticas entre arte y ciencia
La ilustración científica es probablemente el ejemplo más claro de relaciones prácticas entre arte y ciencia

Deslizaré aquí un secretillo: hace unos años, colaboré con el departamento de selección de personal de una empresa tecnológica. Pasamos varios días leyendo currículums de matemáticos, físicos e ingenieros. Soy incapaz de expresar con palabras la ventaja estratégica de tener un currículum bien diseñado desde el punto de vista gráfico.

Entender la creatividad:

Otro punto en común entre científicos y artistas es que ambos tienen trabajos creativos. Entender cómo funcionan los procesos creativos tiene más miga de la que parece. La parte que más nos cuesta a los científicos es el hecho de que obcecarse con un problema rara vez suele dar buenos resultados. A menudo, lo mejor que podemos hacer para avanzar en nuestro trabajo es dedicar un tiempo a jugar explorando caminos alternativos o problemas secundarios, o incluso abandonar el despacho o el laboratorio y salir a dar un paseo, a hacer deporte, o incluso a tomar una cerveza. Si bien es cierto que esto no es siempre posible (proyectos urgentes, jefes tiránicos, …), mi experiencia me indica que el principal obstáculo suele ser la fé del científico en la linealidad de la relación esfuerzo-resultados. No, darse de cabezazos contra el teclado durante el doble de tiempo no va a producir el doble de resultados, y lo que es peor, además de desagradable suele ser contraproducente.

En el mundo del arte, tradicionalmente más bohemio, se acepta este hecho con naturalidad. Incluso algunas agencias de diseño implementan protocolos para garantizar que se exploren varias opciones en lugar de escoger una al principio de un proyecto (por ejemplo, exigiendo que se trabaje en dos o tres diseños durante un cierto tiempo antes de decidir cuál de ellos es el mejor; es sorprendente cuán a menudo se acaba desechando el primero de la lista que se elaboró el primer día).

Y hasta aquí llega mi lista, elaborada desde mi experiencia personal y espero no del todo intransferible. Siéntanse libres de compartir las suyas propias en los comentarios.

Referencias:

Hubo un tiempo en el que yo fui un buen estudiante. No sucedió porque sí; antes de ser un buen estudiante fui un estudiante malo, y luego uno mediocre. A base de pasar horas y horas en la biblioteca acabé por pillarle el tranquillo al asunto. Recuerdo esos años en cuarto y quinto de carrera, en los que sentía que tenía todo bajo control: sabía en qué libro mirar esto o aquello (a veces incluso en qué capítulo), qué profesor podía ayudarme con cierto problema y a cuál era mejor no preguntar, e incluso qué imprenta me hacía las fotocopias más baratas. Creía que me comía el mundo, pero no me daba cuenta de lo pequeño, minúsculo y acotado que era ese mundo.

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Pocas semanas después de acabar mi carrera empecé a trabajar en una empresa de de diseño de lentes. Tres años más tarde abandoné ese trabajo para, emigración mediante, comenzar mi doctorado. Ambos trabajos, el de ingeniero y el de investigador, tienen algo en común, algo que no me esperaba: no queda más remedio que trabajar con información parcial. En la carrera, el principal objetivo es aprender. Pero en un trabajo, el objetivo principal es producir (lentes, artículos, una tesis, …) y aprender pasa a ocupar un puesto secundario. Un puesto relevante, pero secundario.

La transición fue algo vertiginosa. Aún recuerdo el día en que, bajo la supervisión de mi jefe y tras un par de semanas de formación, me dejaron meter mano al código por primera vez. Estaba escrito en C# y había que reparar un bug relacionado con algo llamado lookup table. El quid de la cuestión: tenía que resolver un problema de un cliente con prisa, relacionado con un concepto que del que nunca había oído hablar hasta ese momento y usando un lenguaje de programación que empecé a estudiar un par de semanas atrás. Recuerdo que mi primera sensación fue que aquello era incorrecto, ¡casi diría inmoral!. ¿Cómo voy a hacer esto si aún no entiendo todos y cada uno de los detalles? Si fuese un examen, ni siquiera me habría presentado. Y esto me parecía mucho más serio que un examen.

Pasaron los meses, y me fui acostumbrando a esa forma de proceder, aprendiendo rápido, a lo bestia y sobre la marcha. No sin dejar de llenar los ratos libres con lecturas sobre óptica geométrica, programación y geometría diferencial… pero una vez más, de forma secundaria. Me acostumbré, aunque he de reconocer que nunca me sentí cómodo del todo.

En el mundo de la investigación sucede algo parecido. La primera gran diferencia con la carrera es que en investigación los problemas son problemas abiertos. Uno no puede ir a la biblioteca y buscar el libro que necesita, porque nadie lo ha escrito aún. Añádase a esto que la literatura es, por lo general, inabarcable. Y el tiempo, y peor aún, la financiación, son finitos. Hace falta escoger qué leer, de modo que es imposible no dejarse algo. Aún así hay que tirar para adelante.

Lograr progresar a pesar de tener solamente información parcial es todo un arte. Hoy ya no me parece una locura tan grande como me parecía entonces. El arte de no tener ni puta idea, y aún así no cagarla… podría ser una definición grosera de lo que es la propia ciencia.

Este ha sido un verano muy movido. Desde Junio hasta hoy, he pasado por cursos y congresos en 7 países distintos. De todos ellos, sin lugar a dudas el Naukas Bilbao 2017 es el que más me ha hecho disfrutar. Allí presenté esta charla de diez minutos, titulada: “¿Cómo cabrear a un matemático?”. Como cada año, fue grabada y retransmitida en directo por EiTB, con exquisita profesionalidad. Gracias a ellos, podéis ver la charla con tan sólo hacer click en la imagen:

Pulsa para ver el vídeo
Pulsa para ver el vídeo

Los diagramas de Voronoi son una forma de subdividir una superficie. Se construyen de una forma intuitivamente sencilla:

  1. Se coloca un número finito de puntos sobre la superficie, que llamaremos nodos.
  2. Todos los puntos de la superficie se asocian con el nodo más cercano.

Una imagen vale más que mil palabras:

Fuente aquí
Fuente aquí

Y, si es usted más de “tocar” simulaciones interactivas, le recomiendo que eche un vistazo a esta web.

Estos diagramas tienen aplicaciones en ramas tan diversas como la geometría computacional, la ingeniería civil o la cristalografía. Su uso está también muy extendido en geografía. Véase, por ejemplo, este mapa de Voronoi dónde cada nodo es un aeropuerto internacional, de modo que cada subdivisión indica la posición del aeropuerto más cercano.

Fuente aquí
Fuente aquí

Los lectores de Naukas son gente ciertamente peculiar, por lo que no me sorprendería que quiera usted crear su propio diagrama de Voronoi sobre una superficie (plana). Un mapa, una cara, …. lo que se le ocurra. Si este es el caso (y usa usted Matlab), le invito a que pruebe este pequeño programa para generar mapas de Voronoi con clicks de ratón sobre una imagen.

Como muestra, un botón: un mapa de Voronoi sobre una proyección plana del mapa de Europa, siendo los nodos las capitales:

Diagrama de Voronoi con nodos en las capitales europeas
Diagrama de Voronoi con nodos en las capitales europeas

Gracias a @ClaraGrima por descubrirme la existencia de estos diagramas.

Llevaba tiempo dándole vueltas a escribir algo sobre este asunto, sin decidirme. El detonante fue este tuit de mi apreciado @Uhandrea.

Es un estereotipo que se repite hasta la saciedad. Véase, por ejemplo, la serie documental sobre Einstein que recientemente ha producido National Geographic. En cierta escena se nos muestra al joven Albert como un rebelde que se aburre en clase; es el protagonista, el héroe. Quiere afrontar los grandes problemas del universo, pero sus profesores se empeñan en enseñarle termodinámica y geometría diferencial, entre otras minucias. Los profesores, autoritarios, avejentados, casi polvorientos, son los villanos; villanos de poca monta, además.

En contraposición con esos mediocres profesores que recomiendan leer a coñazos como Euler o Gauss, el joven Einstein usa su poderosa imaginación. Esta se manifiesta en forma de visiones místicas, de auténticas epifanías. Y, como es bien sabido, con gran éxito.

Como historia de ficción no está mal: nadie quiere ver una serie en la que el protagonista se pasa el 80% del tiempo delante de un libro abierto (en honor a la verdad, diré que esto sucede en otras escenas de la serie, que aprovecho para recomendar). Pero si uno ha pasado por una facultad de física resulta poco creíble. Poco creíble, pero paradójicamente familiar. En toda clase de primero hay un pequeño subconjunto de “flipados” que, como el Einstein de ficción, afirman no estar ahí para aprender cálculo y álgebra, sino para desentrañar los secretos del universo. Así, de entrada, en el primer cuatrimestre, antes de saber siquiera dónde queda la cafetería.

La diferencia principal es que, salvo rarísimas excepciones, estos estudiantes fracasan estrepitosamente en cuánto se enfrentan a un “secreto del universo” menor (por ejemplo, un plano inclinado). Llegados a este punto, quizá debido a lo mucho que nos gustan las historias de héroes y villanos, más de uno estará tentado de pensar que “el sistema” ha aplastado y expulsado a estos ambiciosos y prometedores estudiantes. Por desgracia, la explicación es mucho más prosaica, de puro obvia: “si los alumnos no han alcanzado un dominio básico de la materia, difícilmente van a poder pensar de forma crítica y creativa sobre la misma” (cita tomada del artículo La evaluación mejora el aprendizaje, de @ferrero_mar).

No hace falta decir que el auténtico Albert Einstein, antes de hacer sus descubrimientos, conocía la física de su tiempo así como sus fundamentos matemáticos. Sin estos prerrequisitos, no se pueden entender siquiera los problemas abiertos. Y los conocía porque los estudió, independientemente de sus aspiraciones futuras.

Perturbadora imagen del pasado
Perturbadora imagen del pasado

En relación con esto, en las últimas semanas he escuchado varias reflexiones acerca de cómo la “educación tradicional” (que el profesor hable en clase, estudiar con libros, hacer exámenes, …) destruye la creatividad de los estudiantes, argumentando que esta debería pasar a ocupar el foco de atención. Todo lo demás lo hemos estado haciendo mal: el conocimiento debe pasar a un segundo plano. Y esta vez no son guionistas de televisión, sino profesionales de la pedagogía los que así opinan.

Como estudiante desastroso que fui, no puedo sino estar agradecido a buena parte del “sistema educativo tradicional”. Con sus más y sus menos, fue allí dónde aprendí a pensar de forma organizada. El hecho, que muchos señalan como fuente de frustraciones, de que los problemas tuviesen soluciones concretas y fuesen, por tanto, evaluables, me ayudó muchísimo. Cuando digo evaluables no pienso necesariamente en notas, sino en el hecho de que existía un criterio para saber si ibas por buen o mal camino. Para un estudiante con dificultades con las matemáticas, como yo fui, esta posibilidad de autocorregirse me acabó convirtiendo en… bueno, en un matemático.

No seré yo quién niegue la importancia de intentar mejorar los métodos de enseñanza actuales (prueba de ello es, por ejemplo, la sección de ciencia interactiva de este mismo blog), pero discrepo en que hasta ahora hayamos estado metiendo la pata. Me alarma, además, que muchas de las ideas que proponen ya las había oído en boca de aquellos “flipados” que desaparecieron de las aulas en primero. Lo más perturbador de las más radicales de estas ideas es que parecen pasar por alto algo obvio: la ciencia es difícil. No imposible, pero difícil. Esto es, requiere esfuerzo. Además, la ciencia es (o intenta ser) un conocimiento estructurado. Hay partes que no se pueden entender si no se entienden otras antes. Por ejemplo, la mecánica necesita del análisis matemático, y este de la aritmética y el álgebra básicas. Como dijo Euclides al Rey Ptolomeo cuando este se quejó de que las matemáticas le resultaban demasiado difíciles: “no hay Camino Real hacia la geometría”. ¿En qué momento dejó de resultar simpática esta anécdota?

Por otro lado, creo que se peca de cierta injusticia. Se compara todo “lo tradicional” con el peor de los ejemplos, y se hace hincapié solamente en los proyectos innovadores que han tenido cierto éxito. Como bien dice mi amigo @javierfpanadero, los mismos que echan pestes de las “clases magistrales” (recordando a aquel profe tan borde que tuvieron una vez), suelen ser los mismos que se maravillan con las TED Talks, que también son clases magistrales.

Y una última reflexión: a pesar del enfoque aparentemente benigno, hacer hincapié en el estereotipo de que la imaginación lo puede todo a veces resulta dañino. He conocido a varios estudiantes que se sentían mal precisamente por el hecho de tener que estudiar para aprender. Pensaban que, si fuesen lo suficientemente inteligentes, la inspiración llegaría por sí sola. Al fin y al cabo, es lo que sucede con los listos de ficción.

Con esto no pretendo negar que la creatividad y la imaginación sean ingredientes indispensables para todo buen científico. Pero sí opino que no bastan por sí solas. Pretender enseñar imaginación y creatividad sin más, a palo seco, sin conocimientos sobre los que basarlas, se me antoja tan absurdo como pretender hacerse rico frotando una moneda. Y también igual de frustrante.

A lo largo de los años, tras coleccionar experiencias como mal estudiante (que lo fui), como buen estudiante, como profesor (menos de las que me gustaría) y, actualmente, como estudiante de doctorado, he desarrollado ciertas opiniones respecto a la educación. Este es un artículo de opinión, y cómo tal, es mi opinión y nada más lo que expresa. Son bienvenidos a compartir las suyas en los comentarios.

Llevo tiempo dudando sobre si escribir o no este artículo. Al fin y al cabo, mi experiencia como científico emigrante quizá no se corresponda con la tuya. Pero por otro lado, mi experiencia es la única sobre la que puedo escribir con autoridad… y en mi blog mando yo. Así que, allá voy.

Mi principal motivación al escribir este artículo es la de combatir lo que yo llamo “el axioma del emigrante desdichado”. Cada vez que se habla de fuga de cerebros en los medios se suele dar por sentado que todos y cada uno de los emigrantes estamos pasándolo fatal y deseando volver a casa. No seré yo quién niegue que, en efecto, muchos tienen este muy legítimo deseo… pero lo que me chirría es el “todos y cada uno”. Para algunos de nosotros, de hecho, regresar no es más que una de muchas posibilidades. Y no necesariamente la primera en nuestra lista.

El axioma del emigrante desdichado ha calado profundamente en la sociedad. Tengo un amigo, que me escribe con cierta frecuencia, que es un excelente ejemplo. Sus e-mails tienen siempre un tono de sincera y cariñosa preocupación, ofreciéndose a enviarme cosas tan dispares como jamón o cacao en polvo. Siempre declino amablemente sus ofertas, y ya le he explicado varias veces que aquí no me falta de nada… pero, de algún modo, no me cree. Los emigrantes son desdichados, todo el mundo lo sabe.

Visión artística
Visión artística

Tengo más anécdotas, claro. Ya he perdido la cuenta de las veces que he oído frases proféticas del tipo: “¡verás cuando llegue el primer invierno!”, “ya me dirás cuando lleves seis meses”, etcétera. El caso es que llevo ya más de año y medio en Holanda, y sigo encantado de la vida. Por cierto, el primer invierno fue una delicia (más suave que el de mi Guadalajara natal), y el segundo (helador y nevado) aún lo fue más.

¿Cuál es mi secreto?, ¿por qué y cómo he violado el axioma del emigrante desdichado? Lo cierto es que no lo sé. Ha sido una amalgama de circunstancias personales y también, supongo, un toque de buena suerte. Tras esta advertencia, dejo aquí algunos consejos que me han ayudado a sentirme en casa en estas tierras lejanas:

  • Sácate de la cabeza la idea de que toda emigración es una tragedia. Es cierto que la motivación, que en el caso de los jóvenes científicos suele ser la imposibilidad de encontrar trabajo en casa, no es la más halagüeña. Pero eso no tiene por qué condicionar tu experiencia personal; esa es tuya y sólo tuya, y puede ser enormemente satisfactoria.
  • No te vayas para volver. Estos primeros años fuera serán de vital importancia tanto formativa como personal. Pueden pasar montones de cosas, y que acabes trabajando en la universidad de la ciudad en que naciste es sólo una de muchas posibilidades. Puede que ni siquiera sea la mejor.
  • Aprende los rudimentos del idioma local, el que se hable en la calle. No hace falta que te presentes al próximo premio de literatura, pero adquiere un nivel suficiente como para poder entender de qué va un texto. Antes de que te des cuenta, podrás mantener una conversación simple. El mero hecho de entender los carteles del supermercado, o de acostumbrarse al sonido, eliminará gran parte de la sensación de estar en un lugar ajeno. Como hablante de español cuentas con una ventaja: conocerás a mucha gente interesada en aprender tu idioma; ¿por qué no ofrecerles un tándem?, yo te enseño español, tú me enseñas tu idioma. Otra herramienta excelente (y gratuita) para adquirir un nivel básico es Duolingo.
  • ¿Te gusta viajar?, ¿te gustan las nuevas experiencias?. Si has respondido que sí, por favor, deja de quejarte porque se cena a las 18:00, no se vende tu marca favorita de galletas, conducen por la izquierda o pronuncian raro la erre. En lugar de comparar todo con tu barrio, disfruta del exotismo.
  • Es muy probable que muchos de tus compañeros de trabajo sean también emigrantes, y por tanto se encuentren en la misma situación que tú. Esto tiene sus ventajas: por un lado, todos hablaréis un idioma común y te será muy fácil socializar. Pero también tiene sus desventajas: el idioma común que habláis será, seguramente, una segunda lengua para casi todos. Eso, unido al “efecto colegas del curro” puede hacer difícil construir relaciones más allá de tomar unas cervezas de cuando en cuando. Ser consciente de las peculiaridades de esta forma de interacción social ayuda bastante.
  • Usa las redes sociales. Por suerte, emigrar hoy no es como en el siglo XIX. Es sorprendente la sensación de cercanía que producen.
  • No idealices tu país de origen. Cuando veas algo que te desagrade de tu nuevo hogar, piensa si también sucedían en casa; te sorprenderá cuán a menudo es así.

Y ahí quedan. Espero que sirvan a alguien. Para todo lo demás, dejen sus comentarios.

Esta entrada se ha beneficiado grandemente de los comentarios de Carmen Agustín Pavón (@CarmenAgustin), José María Mateos y Sergio Pérez Acebrón (@Acebron), que ya en 2009 escribía esto. Ellos son algunos de los miembros de esta ilustre casa que pueden hablar de la emigración científica con conocimiento de causa.

Actualización:

Me hace llegar Daniel Manzano (@spidermanzano) este artículo suyo: Emigrante, no exiliado.

Existen dos conceptos que ponen los pelos de punta a los estudiantes de primero de cualquier carrera científica. Aún recuerdo cómo, en mi primer año de física, bastaba invocarlos para provocar palpitaciones a mis compañeros de clase. Me refiero al concepto de autovector y al concepto de serie de Taylor. A pesar del temor inicial (motivado, quizá, porque es el primer material matemático que no se ha cubierto, ni de lejos, en el instituto) y de su aparente complejidad, resulta que ambos conceptos son bastante sencillos e increíblemente útiles en una futura vida profesional.

De los autovectores ya dejé un applet en una entrada anterior (link aquí). Hoy hablaremos de la otra bestia negra, las series de Taylor.

Si echamos un vistazo a su definición:

MAMOg

lo más probable es que huyamos despavoridos. Intentaré dar una explicación más intuitiva:

Lo que pretende conseguirse con una serie de Taylor es aproximar una función cualquiera (f(x)) por un polinomio (la serie). Salvo que f(x) sea de entrada un polinomio, nuestra aproximación nunca será exacta (a no ser que usemos polinomios con infinitos términos, asunto del que hablaremos más adelante)… ¡ya empezamos con las chapuzas! Ante este problema, tenemos que escoger un punto alrededor del cuál queremos que nuestra aproximación sea lo más acertada posible. Este es el punto que hemos llamado x0 en la ecuación anterior, pero por favor, ¡no la mires aún!

Para que nuestro polinomio aproximante en torno a x0 sea digno de ese nombre, como poco, tendrá que ser igual a la función en dicho punto, ¿no? Esto equivale a que el polinomio p(x) cumpla la siguiente condición:

p(x_0) = f(x_0)

El caso más simple que verifica la ecuación anterior es un polinomio de orden 0, esto es, un polinomio constante. Gráficamente vemos que nuestra aproximación es muy simplona:

Aproximación de orden 0 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 0 en torno a x0 = -1

¿Cómo podríamos mejorarla? Por ejemplo, haciendo que la recta sea tangente a la curva en el punto. Gráficamente:

Aproximación de orden 1 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 1 en torno a x0 = -1

Analíticamente, esto se corresponde con exigir a nuestro polinomio p(x) que tenga la misma derivada que f(x) en el punto x0. Es decir, permitir polinomios, ahora, de grado 1, y exigir:

p'(x_0) = f'(x_o)

Pero, ¿por qué detenerse aquí?, ¿qué pasa si exigimos también igualdad en las segundas derivadas? Es decir, algo cómo:

p''(x_0) = f''(x_o)

Echando un vistazo al gráfico vemos que, en efecto, igualar las segundas derivadas mejora nuestra aproximación:

Aproximación de orden 2 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 2 en torno a x0 = -1

Pues bien, la fea ecuación que hemos visto al principio lo único que hace es definir un polinomio cuyas derivadas, todas ellas, son iguales que las derivadas de la función a aproximar:

p'''(x_0) = f'''(x_o)

p''''(x_0) = f''''(x_o)

etcétera.

Cada una de las derivadas que queremos ajustar nos obliga a tener en cuenta un término más en nuestro polinomio, esto es, sumar un monomio más. La pega, como hemos comentado al principio, es que salvo que la función f(x) sea un polinomio, el proceso puede repetirse indefinidamente (empieza a oler a infinito, ¿lo notáis?). En la práctica, por lo general se utilizan series truncadas… es decir, en algún momento paramos de contar. Estas aproximaciones truncadas se llaman aproximaciones de orden n. Así, una aproximación de orden 2 es un polinomio de grado 2 en el que las derivadas segunda, primera y nula se han ajustado.

El siguiente applet puede ser de utilidad para jugar con estos conceptos. Vemos la función f(x) en negro, y los polinomios de Taylor en distintos colores (se pueden mostrar y ocultar a voluntad). Moviendo el punto azul en el eje x modificamos el punto en torno al cuál se aproxima (no dejes de hacerlo, ¡verás a los polinomios agitar sus brazos como un pulpo!). También es posible introducir, en la caja de texto, la función que se desea aproximar.

Puedes descargar el applet en GeoGebraTube.