Lo que aprendí resolviendo integrales

Hace poco, discutía con varios amigos sobre la conveniencia de enseñar a los estudiantes de bachillerato a resolver integrales con lápiz y papel. Aunque con matices, yo estoy a favor de enseñarlas. El principal argumento de los partidarios de no hacerlo giraba en torno al hecho, indiscutible, de que la mayoría de profesionales que usan integrales en su trabajo las suelen resolver habitualmente mediante métodos computacionales. Aquella conversación ha pasado unos días resonando en mi cabeza.

La educación es un tema complicado sobre el que no me atrevo a lanzar juicios categóricos, por eso escribo este artículo en primera persona. Algunas  de las cosas que aprendí gracias a la resolución “manual” de integrales son que:

  • Una tabla de integrales es (casi) una tabla de derivadas leída al revés.
  • Las derivadas destruyen información. Por eso en las integrales indefinidas hay que sumar una constante arbitraria.
  • La integración por sustitución es la regla de la cadena, leída al revés.
  • La integración por partes es la regla del producto, leída “de medio lado”.
  • Una integral, definida o indefinida, se puede estimar y a veces hasta resolver exactamente “a ojo”.
  • El resultado de un problema puede ser no un número, sino una función.

Más adelante, le saqué un enorme rédito práctico a mi buena mano con las integrales cuando estudié análisis complejo y, sobretodo, análisis funcional. Suenan a herramientas muy frikis, de dudoso interés, pero quizá cambies de opinión si te digo que el análisis funcional es el corazón de algo tan enormemente usado como el análisis de Fourier (que en su corazón tiene integrales que se resuelven mejor “a ojo” que “a máquina”).

Sin embargo, la lección más importante de todas fue una que no tiene nada que ver con las matemáticas, a saber:

  • Que se pueden resolver problemas aparentemente complicados sin más ayuda que lápiz y papel, llegando uno incluso a familiarizarse con ellos.

Esta sensación de estar sólo ante un folio en blanco, resolviendo un problema lo suficientemente fácil como para ser resoluble pero lo suficientemente difícil como para ser un desafío, me enganchó tanto que he hecho de ella mi profesión.

En cuanto al argumento tecnológico, como decía, es indiscutible que la mayoría de profesionales que usan matemáticas se apoyan, ante todo, en métodos computacionales. Sin embargo, incluso con un ordenador delante, es imposible obtener respuestas si se desconoce cual es la pregunta correcta. Además, está la poderosa y bien conocida tentación de usar métodos computacionales como si fueran cajas negras. Estos problemas se resuelven familiarizándose con los métodos, y no conozco mejor manera de hacerlo que usándolos, con lápiz y papel.

Decía al principio que soy partidario con matices. El principal matiz es que, en mi opinión, demasiado a menudo se satura al alumno con una constelación de casos y subcasos, pensando más en la extensión (que no quede ni un caso sin saber calcular) que en la profundidad (que el conocimiento se afiance e interiorice). Esta saturación dificulta una reflexión pausada sobre la idea misma de integral (¡y ojalá fuera la única!, una saturación parecida sucede con las derivadas o la nomenclatura química). Tanto, que no es raro encontrar a alumnos capaces de calcular complicadas integrales pero incapaces de explicar lo que es una integral.

¿Quién sabe?, quizá yo me familiaricé con las integrales a pesar de la forma tradicional* de de enseñarlas.

PS: Respecto a esas escuelas que se vanaglorian de “la escabechina” que suponen los exámenes de primero… prefiero no comentar mucho. No termino de entender eso de alardear de un fracaso.

*: Lo cierto es que preparé mi examen casi sin ir a clase, pero con algo aún mejor: el magnífico libro “Cálculo y geometría analítica” de George F. Simmons, cuyos capítulos sobre integración son especialmente brillantes.

 

Esta entrada participa en la Edición 1 del Año X del Carnaval de Matemáticascuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.



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Por Pablo Rodríguez
Publicado el ⌚ 27 febrero, 2019
Categoría(s): ✓ Matemáticas • Opinión • Textos