¿Seguro que sabes contar?

“Ya está el listillo este tocando las narices… ¡pues claro que sé contar!”, pensará el lector. Y no seré yo el listillo que lo ponga en duda… sin embargo, quisiera hablar de algunas situaciones curiosas en las que contar no es para nada un ejercicio sencillo.

Os recuerdo que, por ejemplo, no nacemos sabiendo contar. Permitid que me ponga nostálgico recordando aquellos tiempos de total ignorancia en lo tocante a números. Tengo la suerte de conservar el que fue mi primer libro de matemáticas. Se llama Bubi cuenta [1]. Tendría unos 3 años cuando cayó en mis manos. Trataba de un niño pequeño que aprendía a contar hasta diez. ¿Y cómo contaba?, pues como es habitual en los niños, ayudándose de los dedos. Así, ante cuatro cachorritos, Bubi mostraba orgulloso cuatro dedos.

Naive, simplón, rayando en la chorrada… lo que queráis, ¿pero cómo os quedáis si os digo que Bubi estaba estableciendo una biyección entre el conjunto que quería contar (los cachorros) y un conjunto conocido (sus dedos)?

Para que nadie se agobie con tecnicismos, os diré que una biyección es una relación “de ida y vuelta”. A cada cachorro le corresponde un dedo, y viceversa. No hay ningún dedo que “represente” dos perritos, ni ningún perro que “se quede sin dedo”, ni ningún perro que sea contado dos veces por el mismo dedo. Es fácil de visualizar trazando líneas que van de cada dedo a cada perro:

Ejemplo de biyección
Ejemplo de biyección

Otro palabro que usamos en matemáticas es cardinal. El cardinal de un conjunto es, simplemente, la cantidad de elementos que contiene. Así, el cardinal de un conjunto de cuatro perros es… cuatro. ¿Sencillo, verdad? El libro bien podría haberse titulado Bubi mide cardinales, pero Bubi cuenta suena mucho mejor.

Un matemático te dirá que si puedes establecer una biyección entre el conjunto cuyo cardinal quieres determinar, y un conjunto de cardinal conocido, entonces ambos tienen el mismo cardinal. Suena muy marciano, pero léelo otra vez, no es más que la definición pedante de contar con los dedos. Si cada dedo tiene su elemento, y cada elemento su dedo, entonces hay tantos elementos como dedos.

Por supuesto, aparecen problemas cuando queremos contar hasta más de diez, pues nos quedamos sin dedos… pero podemos seguir usando el mismo razonamiento si encontramos otro conjunto con el que comparar. Ese conjunto, esa “mano de infinitos dedos”, es precisamente el conjunto de los números naturales, a menudo llamados números, sin más.

Podemos entender los números naturales como una mano de infinitos dedos
Podemos entender los números naturales como una mano de infinitos dedos

Llegados a este punto hace ya rato que Bubi se ha aburrido de nosotros y está con sus juguetes. Como adultos aburridos que somos, hemos extraído lo fundamental y entendemos el concepto de contar como algo abstracto. Si no has estudiado matemáticas antes, pensarás que hemos llegado a un punto muerto, pero lo cierto es que es ahora cuando la cosa se pone interesante: nuestra nueva herramienta abstracta nos permite hacer algunos prodigios, como por ejemplo contar hasta el infinito.

Por ejemplo, podemos probar que hay tantos números pares como números impares, a pesar de que ambos conjuntos sean infinitos. Para ello, construimos una regla que asigna a cada número par un (y solo un) “compañero” impar. Esta regla puede ser, simplemente, sumar 1.

Así, son “compañeros” (0,1), (2,3), (4,5), …

Aquí vemos que existen tantos números pares como impares
Aquí vemos que existen tantos números pares como impares

Otra curiosidad, podemos probar que los números naturales siguen teniendo la misma cantidad de elementos aunque cortemos un trozo, por ejemplo, empezando a contar en el 5:

offset

Y aún más curioso, podemos probar que el cardinal de los números naturales (esto es, pares + impares) es igual al de los pares. Es decir: si quitamos los impares, ¡el conjunto de los naturales sigue teniendo exactamente el mismo tamaño!

Una regla que asigna un número par a cada natural, y viceversa, es simplemente una multiplicación por 2. De modo que formamos los grupos (1, 2), (2, 4), (3, 6), …

pairs

Estas y otras muchas cosas raras suceden cuando uno cuenta hasta el infinito, pero ya ha sido suficiente por hoy. Espero haber demostrado que saber contar no tiene nada de trivial.

[1]: Joe can count, de Jan Ormerod


7 Comentarios

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quidproquoquidproquo

En realidad no somos capaces de contar más allá de los dedos (simios con muchos humos). Por eso hemos desarrolladpo herramientas matemáticas sofisticadas como montecarlo, etc
Una prueba simple es echar judias en una mesa, si pasan de 5 el conteo requiere de procesos complejos (un puñado p.ej.)

PabloPablo

Indigna un poco ver que en cada artículo de estos (excelente articulo, bello artículo) siempre aparece alguien (unos cuantos, ahora) discutiendo colocándose encima de Cantor, Russell y otros…

Pablo Rodríguez

Pues en este artículo prácticamente no ha habido polémica, al menos por el momento. Te sorprenderían los follones que se arman con ciertos artículos de matemáticas… tan agrios y descontrolados como en los artículos sobre política.

Julio Mares AperJulio Mares Aper

Porque los naturales No admiten expansion infinita??
0,3Periodo no es problema
Porque?? 3Periodo,0 si parece serlo??
tiene Todos sus infinitos digitos definidos y todos son 3
vale… ya sabemos que los narurales son infinitos,
?? Que problema hay??

Urko

Un recién nacido de un solo día sabe contar. Si coges una campanilla y la haces sonar tres veces. Coges otra (con un timbre diferente) y vuelves a sonar otras tres veces y si luego coges otra campanilla y la tocas dos veces, el bebé hará un gesto al esperar el tercer tono y no producirse.

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