Este ha sido un verano muy movido. Desde Junio hasta hoy, he pasado por cursos y congresos en 7 países distintos. De todos ellos, sin lugar a dudas el Naukas Bilbao 2017 es el que más me ha hecho disfrutar. Allí presenté esta charla de diez minutos, titulada: “¿Cómo cabrear a un matemático?”. Como cada año, fue grabada y retransmitida en directo por EiTB, con exquisita profesionalidad. Gracias a ellos, podéis ver la charla con tan sólo hacer click en la imagen:

Pulsa para ver el vídeo
Pulsa para ver el vídeo

Los diagramas de Voronoi son una forma de subdividir una superficie. Se construyen de una forma intuitivamente sencilla:

  1. Se coloca un número finito de puntos sobre la superficie, que llamaremos nodos.
  2. Todos los puntos de la superficie se asocian con el nodo más cercano.

Una imagen vale más que mil palabras:

Fuente aquí
Fuente aquí

Y, si es usted más de “tocar” simulaciones interactivas, le recomiendo que eche un vistazo a esta web.

Estos diagramas tienen aplicaciones en ramas tan diversas como la geometría computacional, la ingeniería civil o la cristalografía. Su uso está también muy extendido en geografía. Véase, por ejemplo, este mapa de Voronoi dónde cada nodo es un aeropuerto internacional, de modo que cada subdivisión indica la posición del aeropuerto más cercano.

Fuente aquí
Fuente aquí

Los lectores de Naukas son gente ciertamente peculiar, por lo que no me sorprendería que quiera usted crear su propio diagrama de Voronoi sobre una superficie (plana). Un mapa, una cara, …. lo que se le ocurra. Si este es el caso (y usa usted Matlab), le invito a que pruebe este pequeño programa para generar mapas de Voronoi con clicks de ratón sobre una imagen.

Como muestra, un botón: un mapa de Voronoi sobre una proyección plana del mapa de Europa, siendo los nodos las capitales:

Diagrama de Voronoi con nodos en las capitales europeas
Diagrama de Voronoi con nodos en las capitales europeas

Gracias a @ClaraGrima por descubrirme la existencia de estos diagramas.

Llevaba tiempo dándole vueltas a escribir algo sobre este asunto, sin decidirme. El detonante fue este tuit de mi apreciado @Uhandrea.

Es un estereotipo que se repite hasta la saciedad. Véase, por ejemplo, la serie documental sobre Einstein que recientemente ha producido National Geographic. En cierta escena se nos muestra al joven Albert como un rebelde que se aburre en clase; es el protagonista, el héroe. Quiere afrontar los grandes problemas del universo, pero sus profesores se empeñan en enseñarle termodinámica y geometría diferencial, entre otras minucias. Los profesores, autoritarios, avejentados, casi polvorientos, son los villanos; villanos de poca monta, además.

En contraposición con esos mediocres profesores que recomiendan leer a coñazos como Euler o Gauss, el joven Einstein usa su poderosa imaginación. Esta se manifiesta en forma de visiones místicas, de auténticas epifanías. Y, como es bien sabido, con gran éxito.

Como historia de ficción no está mal: nadie quiere ver una serie en la que el protagonista se pasa el 80% del tiempo delante de un libro abierto (en honor a la verdad, diré que esto sucede en otras escenas de la serie, que aprovecho para recomendar). Pero si uno ha pasado por una facultad de física resulta poco creíble. Poco creíble, pero paradójicamente familiar. En toda clase de primero hay un pequeño subconjunto de “flipados” que, como el Einstein de ficción, afirman no estar ahí para aprender cálculo y álgebra, sino para desentrañar los secretos del universo. Así, de entrada, en el primer cuatrimestre, antes de saber siquiera dónde queda la cafetería.

La diferencia principal es que, salvo rarísimas excepciones, estos estudiantes fracasan estrepitosamente en cuánto se enfrentan a un “secreto del universo” menor (por ejemplo, un plano inclinado). Llegados a este punto, quizá debido a lo mucho que nos gustan las historias de héroes y villanos, más de uno estará tentado de pensar que “el sistema” ha aplastado y expulsado a estos ambiciosos y prometedores estudiantes. Por desgracia, la explicación es mucho más prosaica, de puro obvia: “si los alumnos no han alcanzado un dominio básico de la materia, difícilmente van a poder pensar de forma crítica y creativa sobre la misma” (cita tomada del artículo La evaluación mejora el aprendizaje, de @ferrero_mar).

No hace falta decir que el auténtico Albert Einstein, antes de hacer sus descubrimientos, conocía la física de su tiempo así como sus fundamentos matemáticos. Sin estos prerrequisitos, no se pueden entender siquiera los problemas abiertos. Y los conocía porque los estudió, independientemente de sus aspiraciones futuras.

Perturbadora imagen del pasado
Perturbadora imagen del pasado

En relación con esto, en las últimas semanas he escuchado varias reflexiones acerca de cómo la “educación tradicional” (que el profesor hable en clase, estudiar con libros, hacer exámenes, …) destruye la creatividad de los estudiantes, argumentando que esta debería pasar a ocupar el foco de atención. Todo lo demás lo hemos estado haciendo mal: el conocimiento debe pasar a un segundo plano. Y esta vez no son guionistas de televisión, sino profesionales de la pedagogía los que así opinan.

Como estudiante desastroso que fui, no puedo sino estar agradecido a buena parte del “sistema educativo tradicional”. Con sus más y sus menos, fue allí dónde aprendí a pensar de forma organizada. El hecho, que muchos señalan como fuente de frustraciones, de que los problemas tuviesen soluciones concretas y fuesen, por tanto, evaluables, me ayudó muchísimo. Cuando digo evaluables no pienso necesariamente en notas, sino en el hecho de que existía un criterio para saber si ibas por buen o mal camino. Para un estudiante con dificultades con las matemáticas, como yo fui, esta posibilidad de autocorregirse me acabó convirtiendo en… bueno, en un matemático.

No seré yo quién niegue la importancia de intentar mejorar los métodos de enseñanza actuales (prueba de ello es, por ejemplo, la sección de ciencia interactiva de este mismo blog), pero discrepo en que hasta ahora hayamos estado metiendo la pata. Me alarma, además, que muchas de las ideas que proponen ya las había oído en boca de aquellos “flipados” que desaparecieron de las aulas en primero. Lo más perturbador de las más radicales de estas ideas es que parecen pasar por alto algo obvio: la ciencia es difícil. No imposible, pero difícil. Esto es, requiere esfuerzo. Además, la ciencia es (o intenta ser) un conocimiento estructurado. Hay partes que no se pueden entender si no se entienden otras antes. Por ejemplo, la mecánica necesita del análisis matemático, y este de la aritmética y el álgebra básicas. Como dijo Euclides al Rey Ptolomeo cuando este se quejó de que las matemáticas le resultaban demasiado difíciles: “no hay Camino Real hacia la geometría”. ¿En qué momento dejó de resultar simpática esta anécdota?

Por otro lado, creo que se peca de cierta injusticia. Se compara todo “lo tradicional” con el peor de los ejemplos, y se hace hincapié solamente en los proyectos innovadores que han tenido cierto éxito. Como bien dice mi amigo @javierfpanadero, los mismos que echan pestes de las “clases magistrales” (recordando a aquel profe tan borde que tuvieron una vez), suelen ser los mismos que se maravillan con las TED Talks, que también son clases magistrales.

Y una última reflexión: a pesar del enfoque aparentemente benigno, hacer hincapié en el estereotipo de que la imaginación lo puede todo a veces resulta dañino. He conocido a varios estudiantes que se sentían mal precisamente por el hecho de tener que estudiar para aprender. Pensaban que, si fuesen lo suficientemente inteligentes, la inspiración llegaría por sí sola. Al fin y al cabo, es lo que sucede con los listos de ficción.

Con esto no pretendo negar que la creatividad y la imaginación sean ingredientes indispensables para todo buen científico. Pero sí opino que no bastan por sí solas. Pretender enseñar imaginación y creatividad sin más, a palo seco, sin conocimientos sobre los que basarlas, se me antoja tan absurdo como pretender hacerse rico frotando una moneda. Y también igual de frustrante.

A lo largo de los años, tras coleccionar experiencias como mal estudiante (que lo fui), como buen estudiante, como profesor (menos de las que me gustaría) y, actualmente, como estudiante de doctorado, he desarrollado ciertas opiniones respecto a la educación. Este es un artículo de opinión, y cómo tal, es mi opinión y nada más lo que expresa. Son bienvenidos a compartir las suyas en los comentarios.

Llevo tiempo dudando sobre si escribir o no este artículo. Al fin y al cabo, mi experiencia como científico emigrante quizá no se corresponda con la tuya. Pero por otro lado, mi experiencia es la única sobre la que puedo escribir con autoridad… y en mi blog mando yo. Así que, allá voy.

Mi principal motivación al escribir este artículo es la de combatir lo que yo llamo “el axioma del emigrante desdichado”. Cada vez que se habla de fuga de cerebros en los medios se suele dar por sentado que todos y cada uno de los emigrantes estamos pasándolo fatal y deseando volver a casa. No seré yo quién niegue que, en efecto, muchos tienen este muy legítimo deseo… pero lo que me chirría es el “todos y cada uno”. Para algunos de nosotros, de hecho, regresar no es más que una de muchas posibilidades. Y no necesariamente la primera en nuestra lista.

El axioma del emigrante desdichado ha calado profundamente en la sociedad. Tengo un amigo, que me escribe con cierta frecuencia, que es un excelente ejemplo. Sus e-mails tienen siempre un tono de sincera y cariñosa preocupación, ofreciéndose a enviarme cosas tan dispares como jamón o cacao en polvo. Siempre declino amablemente sus ofertas, y ya le he explicado varias veces que aquí no me falta de nada… pero, de algún modo, no me cree. Los emigrantes son desdichados, todo el mundo lo sabe.

Visión artística
Visión artística

Tengo más anécdotas, claro. Ya he perdido la cuenta de las veces que he oído frases proféticas del tipo: “¡verás cuando llegue el primer invierno!”, “ya me dirás cuando lleves seis meses”, etcétera. El caso es que llevo ya más de año y medio en Holanda, y sigo encantado de la vida. Por cierto, el primer invierno fue una delicia (más suave que el de mi Guadalajara natal), y el segundo (helador y nevado) aún lo fue más.

¿Cuál es mi secreto?, ¿por qué y cómo he violado el axioma del emigrante desdichado? Lo cierto es que no lo sé. Ha sido una amalgama de circunstancias personales y también, supongo, un toque de buena suerte. Tras esta advertencia, dejo aquí algunos consejos que me han ayudado a sentirme en casa en estas tierras lejanas:

  • Sácate de la cabeza la idea de que toda emigración es una tragedia. Es cierto que la motivación, que en el caso de los jóvenes científicos suele ser la imposibilidad de encontrar trabajo en casa, no es la más halagüeña. Pero eso no tiene por qué condicionar tu experiencia personal; esa es tuya y sólo tuya, y puede ser enormemente satisfactoria.
  • No te vayas para volver. Estos primeros años fuera serán de vital importancia tanto formativa como personal. Pueden pasar montones de cosas, y que acabes trabajando en la universidad de la ciudad en que naciste es sólo una de muchas posibilidades. Puede que ni siquiera sea la mejor.
  • Aprende los rudimentos del idioma local, el que se hable en la calle. No hace falta que te presentes al próximo premio de literatura, pero adquiere un nivel suficiente como para poder entender de qué va un texto. Antes de que te des cuenta, podrás mantener una conversación simple. El mero hecho de entender los carteles del supermercado, o de acostumbrarse al sonido, eliminará gran parte de la sensación de estar en un lugar ajeno. Como hablante de español cuentas con una ventaja: conocerás a mucha gente interesada en aprender tu idioma; ¿por qué no ofrecerles un tándem?, yo te enseño español, tú me enseñas tu idioma. Otra herramienta excelente (y gratuita) para adquirir un nivel básico es Duolingo.
  • ¿Te gusta viajar?, ¿te gustan las nuevas experiencias?. Si has respondido que sí, por favor, deja de quejarte porque se cena a las 18:00, no se vende tu marca favorita de galletas, conducen por la izquierda o pronuncian raro la erre. En lugar de comparar todo con tu barrio, disfruta del exotismo.
  • Es muy probable que muchos de tus compañeros de trabajo sean también emigrantes, y por tanto se encuentren en la misma situación que tú. Esto tiene sus ventajas: por un lado, todos hablaréis un idioma común y te será muy fácil socializar. Pero también tiene sus desventajas: el idioma común que habláis será, seguramente, una segunda lengua para casi todos. Eso, unido al “efecto colegas del curro” puede hacer difícil construir relaciones más allá de tomar unas cervezas de cuando en cuando. Ser consciente de las peculiaridades de esta forma de interacción social ayuda bastante.
  • Usa las redes sociales. Por suerte, emigrar hoy no es como en el siglo XIX. Es sorprendente la sensación de cercanía que producen.
  • No idealices tu país de origen. Cuando veas algo que te desagrade de tu nuevo hogar, piensa si también sucedían en casa; te sorprenderá cuán a menudo es así.

Y ahí quedan. Espero que sirvan a alguien. Para todo lo demás, dejen sus comentarios.

Esta entrada se ha beneficiado grandemente de los comentarios de Carmen Agustín Pavón (@CarmenAgustin), José María Mateos y Sergio Pérez Acebrón (@Acebron), que ya en 2009 escribía esto. Ellos son algunos de los miembros de esta ilustre casa que pueden hablar de la emigración científica con conocimiento de causa.

Actualización:

Me hace llegar Daniel Manzano (@spidermanzano) este artículo suyo: Emigrante, no exiliado.

Existen dos conceptos que ponen los pelos de punta a los estudiantes de primero de cualquier carrera científica. Aún recuerdo cómo, en mi primer año de física, bastaba invocarlos para provocar palpitaciones a mis compañeros de clase. Me refiero al concepto de autovector y al concepto de serie de Taylor. A pesar del temor inicial (motivado, quizá, porque es el primer material matemático que no se ha cubierto, ni de lejos, en el instituto) y de su aparente complejidad, resulta que ambos conceptos son bastante sencillos e increíblemente útiles en una futura vida profesional.

De los autovectores ya dejé un applet en una entrada anterior (link aquí). Hoy hablaremos de la otra bestia negra, las series de Taylor.

Si echamos un vistazo a su definición:

MAMOg

lo más probable es que huyamos despavoridos. Intentaré dar una explicación más intuitiva:

Lo que pretende conseguirse con una serie de Taylor es aproximar una función cualquiera (f(x)) por un polinomio (la serie). Salvo que f(x) sea de entrada un polinomio, nuestra aproximación nunca será exacta (a no ser que usemos polinomios con infinitos términos, asunto del que hablaremos más adelante)… ¡ya empezamos con las chapuzas! Ante este problema, tenemos que escoger un punto alrededor del cuál queremos que nuestra aproximación sea lo más acertada posible. Este es el punto que hemos llamado x0 en la ecuación anterior, pero por favor, ¡no la mires aún!

Para que nuestro polinomio aproximante en torno a x0 sea digno de ese nombre, como poco, tendrá que ser igual a la función en dicho punto, ¿no? Esto equivale a que el polinomio p(x) cumpla la siguiente condición:

p(x_0) = f(x_0)

El caso más simple que verifica la ecuación anterior es un polinomio de orden 0, esto es, un polinomio constante. Gráficamente vemos que nuestra aproximación es muy simplona:

Aproximación de orden 0 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 0 en torno a x0 = -1

¿Cómo podríamos mejorarla? Por ejemplo, haciendo que la recta sea tangente a la curva en el punto. Gráficamente:

Aproximación de orden 1 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 1 en torno a x0 = -1

Analíticamente, esto se corresponde con exigir a nuestro polinomio p(x) que tenga la misma derivada que f(x) en el punto x0. Es decir, permitir polinomios, ahora, de grado 1, y exigir:

p'(x_0) = f'(x_o)

Pero, ¿por qué detenerse aquí?, ¿qué pasa si exigimos también igualdad en las segundas derivadas? Es decir, algo cómo:

p''(x_0) = f''(x_o)

Echando un vistazo al gráfico vemos que, en efecto, igualar las segundas derivadas mejora nuestra aproximación:

Aproximación de orden 2 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 2 en torno a x0 = -1

Pues bien, la fea ecuación que hemos visto al principio lo único que hace es definir un polinomio cuyas derivadas, todas ellas, son iguales que las derivadas de la función a aproximar:

p'''(x_0) = f'''(x_o)

p''''(x_0) = f''''(x_o)

etcétera.

Cada una de las derivadas que queremos ajustar nos obliga a tener en cuenta un término más en nuestro polinomio, esto es, sumar un monomio más. La pega, como hemos comentado al principio, es que salvo que la función f(x) sea un polinomio, el proceso puede repetirse indefinidamente (empieza a oler a infinito, ¿lo notáis?). En la práctica, por lo general se utilizan series truncadas… es decir, en algún momento paramos de contar. Estas aproximaciones truncadas se llaman aproximaciones de orden n. Así, una aproximación de orden 2 es un polinomio de grado 2 en el que las derivadas segunda, primera y nula se han ajustado.

El siguiente applet puede ser de utilidad para jugar con estos conceptos. Vemos la función f(x) en negro, y los polinomios de Taylor en distintos colores (se pueden mostrar y ocultar a voluntad). Moviendo el punto azul en el eje x modificamos el punto en torno al cuál se aproxima (no dejes de hacerlo, ¡verás a los polinomios agitar sus brazos como un pulpo!). También es posible introducir, en la caja de texto, la función que se desea aproximar.

Puedes descargar el applet en GeoGebraTube.

Hoy, con motivo de las elecciones, Holanda está en todos los medios internacionales. En Naukas no queremos ser menos, y dejamos aquí una breve nota sobre un asunto tangencial, su lengua.

El neerlandés, ese lenguaje que tan mal suena a los oídos habituados a las lenguas romances, tiene su encanto (créanlo o no). Una de las cosas que me gustan es la abundancia de palabras compuestas, muy característica de las lenguas germánicas. Uno de los motivos es que me ayudan a estudiar, pues permiten deducir el significado de palabras que uno no ha oído antes a partir de sus partes. Pero hay otro, y es que estas palabras compuestas a menudo cuentan una pequeña historia.

dutch flag

A título de brevísimo ejemplo, aquí dejo algunas de mis palabras favoritas: los nombres de varias ciencias. Todas ellas se generan con la partícula kunde (ciencia, saber o conocimiento), que no por casualidad comparte raíz con kunst (arte). Dejo la traducción literal, que a menudo es una brevísima lección de historia de la ciencia y, entre paréntesis, el significado en castellano.

  • Natuurkunde: ciencia de la naturaleza (física)
  • Wiskunde: ciencia de la certeza (matemáticas)
  • Scheikunde: ciencia de la separación (química), aunque se usa cada vez menos en favor de chemie
  • Sterrenkunde: ciencia de las estrellas (astronomía)
  • Geneeskunde: ciencia de la sanación (medicina)
  • Volkenkunde: ciencia de los pueblos (antropología cultural)
  • Aardrijkskunde: ciencia de los reinos de la tierra (geografía)

Estoy seguro de que no han podido leer la lista sin que se les haya escapado una sonrisa.

La probabilidad es uno de los conceptos más escurridizos que conozco. Curiosamente, la probabilidad suele considerarse un asunto menor. Por ejemplo, los planes de estudios de matemáticas para estudiantes de letras, popularmente conocidos como matemáticas fáciles (no entraré aquí a evaluar si este pseudónimo es o no apropiado), suelen centrarse más en la estadística y la probabilidad que en el álgebra y el cálculo, tradicionalmente reservados para las matemáticas para ciencias.

Para hacernos una idea rápida de la complejidad del concepto de probabilidad, nótese que esta cuantifica cómo de posible es un determinado suceso. Esto es, no solamente nos dice si un suceso es posible o no, sino cuánto. Si no fuese porque estamos acostumbrados a ella, la frase anterior nos sonaría a ciencia ficción.

Cuando digo que la probabilidad es difícil no pienso en problemas especialmente rebuscados. Es fácil encontrar problemas sencillos con resultados poco intuitivos. Aquí va uno:

Supongamos un mundo sin hermanos gemelos. Un mundo en el que los partos múltiples no existen, y además la probabilidad de tener un bebé niño sea 0.5, y la de tener una bebé niña 0.5 también. Supongamos ahora que conocemos a una madre que, sabemos, ha tenido dos partos consecutivos y, por lo tanto, tiene dos bebés. Empecemos por las preguntas fáciles y vayamos subiendo en dificultad:

¿Cuál es la probabilidad de que…

  1. … los dos bebés sean niñas?
  2. … un bebé sea niño y el otro sea niña?
  3. … los dos bebés sean niños, sabiendo que uno de ellos es niño?
  4. … los dos bebés sean niños, sabiendo que el mayor de ellos es niño?

Si quieres darle una pensada, espera antes de seguir leyendo.

babies

Las respuestas, a continuación:

  1. 0.25
  2. 0.5
  3. 0.33
  4. 0.5

Para entender estos resultados basta con aplicar la aparentemente sencilla definición frecuentista de probabilidad: dividir casos favorables entre casos posibles. Los casos posibles son: (niño, niño), (niño, niña), (niña, niño), (niña, niña), dónde el primer elemento es el hermano (o hermana) mayor y el otro el (o la) menor. Podemos ordenarlos cómodamente en un diagrama como el siguiente:

Los cuatro casos posibles, bien ordenados en una tabla
Los cuatro casos posibles, bien ordenados en una tabla

Para el problema número 1, marcaremos en verde el único caso favorable, y en rojo los casos desfavorables. Vemos que la probabilidad de tener dos niñas es 1 entre 4, esto es, 0.25.

Solución al problema 1
Problema 1

Siguiendo la misma estrategia gráfica, la solución al problema número 2 presenta el siguiente aspecto, donde se ve claramente por qué la respuesta es 0.5:

Solución al problema 2
Problema 2

El caso 3 da un salto en dificultad; es lo que se conoce como un problema de probabilidad condicionada. La diferencia con los anteriores es que introducimos información nueva, y esto altera el panorama general. Si sabemos que uno de los bebés es varón, el caso (niña, niña) queda excluído. Indicaremos esto marcándolo en gris. Tenemos, pues, un caso favorable de tres posibles:

Solución al problema 3
Solución al problema 3

Y por último, el problema 4. Saber que el hijo mayor es varón nos proporciona más información que saber simplemente que alguno de los hijos es varón. Esto se ve reflejado por el hecho de que hay dos casos que quedan excluidos, (niña, niña) y (niña, niño), pues recordemos que el primer elemento representa al hermano/a mayor. Tenemos pues un caso favorable de dos posibles:

Solución al problema 4
Solución al problema 4

Una información que, a primera vista, parecía accesoria (si la información se refiere al mayor, al menor o simplemente a a uno de los dos) resulta ser de vital importancia para el problema.

Pero no se trata solamente de una curiosidad académica: este problema tiene un análogo práctico nada menos que en física de partículas. Imaginemos que tenemos dos partículas, cada una de las cuales puede tener dos propiedades mutuamente excluyentes (que en lugar de niño-niña llamaremos 0-1, y que pueden representar, por ejemplo, dos estados de espín). Tendremos entonces cuatro posibilidades (0-0), (0-1), (1-0) y (1-1). ¿Mismo problema, verdad?

Pues… sí y no. En el problema de los bebés hemos tomado por cierta una verdad que es válida para los bebés, pero no necesariamente para las partículas: su distinguibilidad*. A escala humana es posible distinguir al hermano mayor del menor. En el caso de las partículas, a menudo es imposible diferenciarlas mediante proceso físico alguno. ¿Y qué consecuencias tiene esto? En un primer vistazo ninguna consecuencia, pero… si las partículas son indistinguibles, etiquetarlas como partícula 1 y partícula 2 carece de sentido. En ese caso no nos queda más remedio que tratarlas como un conjunto. Más concretamente, en el caso de partículas indistinguibles nuestras opciones se reducen a tres: (las dos 0), (las dos 1), (las dos diferentes), pues las opciones (1-0) y (0-1) pierden su sentido individual.

Puede parecer un detalle menor, una mera curiosidad matemática, pero el hecho de que las partículas involucradas en un proceso físico sean o no distinguibles afecta enormemente a su comportamiento. O más bien al revés: son las peculiaridades de su comportamiento la que las hacen distinguibles o no.

En resumen: cuidado con la probabilidad. Es el concepto científico más engañosamente sencillo con el que me he topado jamás.

*: y no es la única. También hemos asumido que la distribución de probabilidad subyacente es uniforme y que el estado de cada partícula es independiente del estado de la otra. Pero en bastantes harinas nos estamos metiendo ya…

A muchos de los que cursaron álgebra lineal en sus primeros años de universidad les habrán entrado picores con tan sólo leer el título de esta entrada. Autovectores y autovalores son dos conceptos que surgen en el estudio de las aplicaciones lineales, y que suelen dar más de un quebradero de cabeza a los estudiantes que tienen que enfrentarse a ellos.

El applet que presento a continuación es el applet que me hubiera gustado tener a mi disposición en mis tiempos de estudiante. Lo interesante es que permite buscar autovectores a ojo, sin necesidad de pararse a ejecutar complicados algoritmos (como cuando lo hacemos con lápiz y papel). Así, podemos centrarnos en la idea geométrica de autovector.

¿Y de qué ideas geométricas hablamos?, pues básicamente de tres:

  1. Las aplicaciones lineales son el tipo más sencillo de funciones que comen vectores y devuelven vectores
  2. Si alimentamos una aplicación lineal con un autovector, el vector salida tendrá la misma dirección que el vector entrada (pero no necesariamente el mismo sentido)
  3. Dos vectores con la misma dirección sólo pueden diferir en longitud. La proporción de longitudes entre el autovector entrada y el vector salida es el autovalor correspondiente

Encontrar autovectores se reduce pues a mover el vector negro hasta que el vector rojo apunte en la misma dirección. Moviendo el punto azul se controla el vector de entrada; el vector rojo representa la salida. Los coeficientes de la matriz pueden modificarse a voluntad.

Otras dudas que se pueden resolver usando este applet son:

  • ¿Por qué algunas aplicaciones lineales no tienen autovectores*? (prueba introduciendo la matriz a = 0, b = -1, c = 1, d = 0)
  • ¿Por qué algunas aplicaciones lineales tienen menos autovectores que dimensiones? (prueba introduciendo la matriz a = 1, b = 1, c = 0, d = 1)
  • ¿Es posible tener una aplicación lineal para la cuál todos los vectores sean autovectores? (prueba con a = 2, b = 0, c = 0, d = 2)

Espero que sirva de ayuda.

*: para los puristas: sí, sé que esta frase no es del todo correcta. Todas las aplicaciones lineales tienen autovectores si permitimos que estos sean complejos, pero eso está totalmente fuera del alcance de este artículo.

Ha sido una de las noticias de la semana en política nacional. Pablo Bustinduy (Podemos) preguntó a Alfonso Dastis (PP, ministro de exteriores) por los emigrantes españoles en el Pleno del Congreso. La respuesta de Dastis, aludiendo a los beneficiosos efectos de la emigración sobre la “inquietud, amplitud de miras y adaptabilidad a nuevos horizontes”, y dando a entender que los que se van lo hacen voluntariamente, ha logrado cabrear a más de uno. A unos, porque lo están pasándolo realmente mal en un país extranjero. A otros, porque añoran a sus hijos fuera. Y a algunos, como yo, porque el paternalismo es algo que, como su propio nombre indica, solo consentimos a nuestros padres.

congreso_de_los_diputados_espana_14

Sea como fuere, la opinión de Dastis se enmarca en lo que podríamos catalogar como una corriente de pensamiento respecto a la emigración, muy del gusto de la derecha española, que viene a decir que todo son ventajas. Otros compañeros de partido prefieren, simple y llanamente, negar que dicha emigración exista… y no me sorprendería demasiado que incluso más de uno sostenga ambas opiniones a la vez, es decir, que la emigración es cojonuda a la par que inexistente. Incluso, los menos versados en el arte de la retórica, sostienen que sí existe pero solo emigramos los zoquetes, logrando cabrear a todos por el mismo precio. Sin pretender entrometerme en la labor de los múltiples asesores de nuestros representantes, cuya valía intelectual queda probada por el hecho de que no hayan tenido que salir de casa para encontrar un empleo, opino que comentarios como estos no son muy inteligentes en un país que aún está traumatizado por las migraciones de los sesenta.

Desde la izquierda, las propuestas para facilitarnos la vida desde los consulados, o para acabar con esa vergüenza nacional que es el voto rogado, siempre tienen como ruido de fondo este argumento principal: se habla de nosotros como capital humano o inversión perdida. No es mal argumento desde el punto de vista de la lógica, y habla de razones de Estado en lugar de apelar a sentimentalismos pero, francamente, tampoco me gusta. Para empezar, da por hecho, como si de un axioma se tratase, que toda emigración es una tragedia. Cuando no es ese el caso, que se refieran a uno como inversión a recuperar, le hace a uno sentirse como ganado.

En ambos casos, y por los motivos que he expuesto, no tengo la impresión de que estén hablando de mí.

PS: abrazos para todos los que vayáis a pasar las navidades lejos de la familia.

Continuamos la serie de visualización de ecuaciones diferenciales (que empezó con este artículo sobre visualización de campos de direcciones).

Hoy traigo un applet complicadillo, pero que será del agrado de aquellos estudiantes que hayan pasado o estén pasando por un curso de ecuaciones diferenciales.

El applet de hoy trata sobre el concepto conocido como plano de fases. El plano de fases es una potente herramienta gráfica que permite analizar ciertos tipos de sistemas de dos ecuaciones diferenciales sin necesidad de resolverlas.

En las cajas de la izquierda puede introducirse el sistema a resolver y, desplazando los puntos verdes, se puede jugar con diferentes condiciones iniciales.

Como curiosidad: el ejemplo que viene precargado representa la dinámica de un péndulo sometido a rozamiento (con la posición en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical).

Puedes descargar el original aquí.