La probabilidad es uno de los conceptos más escurridizos que conozco. Curiosamente, la probabilidad suele considerarse un asunto menor. Por ejemplo, los planes de estudios de matemáticas para estudiantes de letras, popularmente conocidos como matemáticas fáciles (no entraré aquí a evaluar si este pseudónimo es o no apropiado), suelen centrarse más en la estadística y la probabilidad que en el álgebra y el cálculo, tradicionalmente reservados para las matemáticas para ciencias.

Para hacernos una idea rápida de la complejidad del concepto de probabilidad, nótese que esta cuantifica cómo de posible es un determinado suceso. Esto es, no solamente nos dice si un suceso es posible o no, sino cuánto. Si no fuese porque estamos acostumbrados a ella, la frase anterior nos sonaría a ciencia ficción.

Cuando digo que la probabilidad es difícil no pienso en problemas especialmente rebuscados. Es fácil encontrar problemas sencillos con resultados poco intuitivos. Aquí va uno:

Supongamos un mundo sin hermanos gemelos. Un mundo en el que los partos múltiples no existen, y además la probabilidad de tener un bebé niño sea 0.5, y la de tener una bebé niña 0.5 también. Supongamos ahora que conocemos a una madre que, sabemos, ha tenido dos partos consecutivos y, por lo tanto, tiene dos bebés. Empecemos por las preguntas fáciles y vayamos subiendo en dificultad:

¿Cuál es la probabilidad de que…

  1. … los dos bebés sean niñas?
  2. … un bebé sea niño y el otro sea niña?
  3. … los dos bebés sean niños, sabiendo que uno de ellos es niño?
  4. … los dos bebés sean niños, sabiendo que el mayor de ellos es niño?

Si quieres darle una pensada, espera antes de seguir leyendo.

babies

Las respuestas, a continuación:

  1. 0.25
  2. 0.5
  3. 0.33
  4. 0.5

Para entender estos resultados basta con aplicar la aparentemente sencilla definición frecuentista de probabilidad: dividir casos favorables entre casos posibles. Los casos posibles son: (niño, niño), (niño, niña), (niña, niño), (niña, niña), dónde el primer elemento es el hermano (o hermana) mayor y el otro el (o la) menor. Podemos ordenarlos cómodamente en un diagrama como el siguiente:

Los cuatro casos posibles, bien ordenados en una tabla
Los cuatro casos posibles, bien ordenados en una tabla

Para el problema número 1, marcaremos en verde el único caso favorable, y en rojo los casos desfavorables. Vemos que la probabilidad de tener dos niñas es 1 entre 4, esto es, 0.25.

Solución al problema 1
Problema 1

Siguiendo la misma estrategia gráfica, la solución al problema número 2 presenta el siguiente aspecto, donde se ve claramente por qué la respuesta es 0.5:

Solución al problema 2
Problema 2

El caso 3 da un salto en dificultad; es lo que se conoce como un problema de probabilidad condicionada. La diferencia con los anteriores es que introducimos información nueva, y esto altera el panorama general. Si sabemos que uno de los bebés es varón, el caso (niña, niña) queda excluído. Indicaremos esto marcándolo en gris. Tenemos, pues, un caso favorable de tres posibles:

Solución al problema 3
Solución al problema 3

Y por último, el problema 4. Saber que el hijo mayor es varón nos proporciona más información que saber simplemente que alguno de los hijos es varón. Esto se ve reflejado por el hecho de que hay dos casos que quedan excluidos, (niña, niña) y (niña, niño), pues recordemos que el primer elemento representa al hermano/a mayor. Tenemos pues un caso favorable de dos posibles:

Solución al problema 4
Solución al problema 4

Una información que, a primera vista, parecía accesoria (si la información se refiere al mayor, al menor o simplemente a a uno de los dos) resulta ser de vital importancia para el problema.

Pero no se trata solamente de una curiosidad académica: este problema tiene un análogo práctico nada menos que en física de partículas. Imaginemos que tenemos dos partículas, cada una de las cuales puede tener dos propiedades mutuamente excluyentes (que en lugar de niño-niña llamaremos 0-1, y que pueden representar, por ejemplo, dos estados de espín). Tendremos entonces cuatro posibilidades (0-0), (0-1), (1-0) y (1-1). ¿Mismo problema, verdad?

Pues… sí y no. En el problema de los bebés hemos tomado por cierta una verdad que es válida para los bebés, pero no necesariamente para las partículas: su distinguibilidad*. A escala humana es posible distinguir al hermano mayor del menor. En el caso de las partículas, a menudo es imposible diferenciarlas mediante proceso físico alguno. ¿Y qué consecuencias tiene esto? En un primer vistazo ninguna consecuencia, pero… si las partículas son indistinguibles, etiquetarlas como partícula 1 y partícula 2 carece de sentido. En ese caso no nos queda más remedio que tratarlas como un conjunto. Más concretamente, en el caso de partículas indistinguibles nuestras opciones se reducen a tres: (las dos 0), (las dos 1), (las dos diferentes), pues las opciones (1-0) y (0-1) pierden su sentido individual.

Puede parecer un detalle menor, una mera curiosidad matemática, pero el hecho de que las partículas involucradas en un proceso físico sean o no distinguibles afecta enormemente a su comportamiento. O más bien al revés: son las peculiaridades de su comportamiento la que las hacen distinguibles o no.

En resumen: cuidado con la probabilidad. Es el concepto científico más engañosamente sencillo con el que me he topado jamás.

*: y no es la única. También hemos asumido que la distribución de probabilidad subyacente es uniforme y que el estado de cada partícula es independiente del estado de la otra. Pero en bastantes harinas nos estamos metiendo ya…

A muchos de los que cursaron álgebra lineal en sus primeros años de universidad les habrán entrado picores con tan sólo leer el título de esta entrada. Autovectores y autovalores son dos conceptos que surgen en el estudio de las aplicaciones lineales, y que suelen dar más de un quebradero de cabeza a los estudiantes que tienen que enfrentarse a ellos.

El applet que presento a continuación es el applet que me hubiera gustado tener a mi disposición en mis tiempos de estudiante. Lo interesante es que permite buscar autovectores a ojo, sin necesidad de pararse a ejecutar complicados algoritmos (como cuando lo hacemos con lápiz y papel). Así, podemos centrarnos en la idea geométrica de autovector.

¿Y de qué ideas geométricas hablamos?, pues básicamente de tres:

  1. Las aplicaciones lineales son el tipo más sencillo de funciones que comen vectores y devuelven vectores
  2. Si alimentamos una aplicación lineal con un autovector, el vector salida tendrá la misma dirección que el vector entrada (pero no necesariamente el mismo sentido)
  3. Dos vectores con la misma dirección sólo pueden diferir en longitud. La proporción de longitudes entre el autovector entrada y el vector salida es el autovalor correspondiente

Encontrar autovectores se reduce pues a mover el vector negro hasta que el vector rojo apunte en la misma dirección. Moviendo el punto azul se controla el vector de entrada; el vector rojo representa la salida. Los coeficientes de la matriz pueden modificarse a voluntad.

Otras dudas que se pueden resolver usando este applet son:

  • ¿Por qué algunas aplicaciones lineales no tienen autovectores*? (prueba introduciendo la matriz a = 0, b = -1, c = 1, d = 0)
  • ¿Por qué algunas aplicaciones lineales tienen menos autovectores que dimensiones? (prueba introduciendo la matriz a = 1, b = 1, c = 0, d = 1)
  • ¿Es posible tener una aplicación lineal para la cuál todos los vectores sean autovectores? (prueba con a = 2, b = 0, c = 0, d = 2)

Espero que sirva de ayuda.

*: para los puristas: sí, sé que esta frase no es del todo correcta. Todas las aplicaciones lineales tienen autovectores si permitimos que estos sean complejos, pero eso está totalmente fuera del alcance de este artículo.

Ha sido una de las noticias de la semana en política nacional. Pablo Bustinduy (Podemos) preguntó a Alfonso Dastis (PP, ministro de exteriores) por los emigrantes españoles en el Pleno del Congreso. La respuesta de Dastis, aludiendo a los beneficiosos efectos de la emigración sobre la “inquietud, amplitud de miras y adaptabilidad a nuevos horizontes”, y dando a entender que los que se van lo hacen voluntariamente, ha logrado cabrear a más de uno. A unos, porque lo están pasándolo realmente mal en un país extranjero. A otros, porque añoran a sus hijos fuera. Y a algunos, como yo, porque el paternalismo es algo que, como su propio nombre indica, solo consentimos a nuestros padres.

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Sea como fuere, la opinión de Dastis se enmarca en lo que podríamos catalogar como una corriente de pensamiento respecto a la emigración, muy del gusto de la derecha española, que viene a decir que todo son ventajas. Otros compañeros de partido prefieren, simple y llanamente, negar que dicha emigración exista… y no me sorprendería demasiado que incluso más de uno sostenga ambas opiniones a la vez, es decir, que la emigración es cojonuda a la par que inexistente. Incluso, los menos versados en el arte de la retórica, sostienen que sí existe pero solo emigramos los zoquetes, logrando cabrear a todos por el mismo precio. Sin pretender entrometerme en la labor de los múltiples asesores de nuestros representantes, cuya valía intelectual queda probada por el hecho de que no hayan tenido que salir de casa para encontrar un empleo, opino que comentarios como estos no son muy inteligentes en un país que aún está traumatizado por las migraciones de los sesenta.

Desde la izquierda, las propuestas para facilitarnos la vida desde los consulados, o para acabar con esa vergüenza nacional que es el voto rogado, siempre tienen como ruido de fondo este argumento principal: se habla de nosotros como capital humano o inversión perdida. No es mal argumento desde el punto de vista de la lógica, y habla de razones de Estado en lugar de apelar a sentimentalismos pero, francamente, tampoco me gusta. Para empezar, da por hecho, como si de un axioma se tratase, que toda emigración es una tragedia. Cuando no es ese el caso, que se refieran a uno como inversión a recuperar, le hace a uno sentirse como ganado.

En ambos casos, y por los motivos que he expuesto, no tengo la impresión de que estén hablando de mí.

PS: abrazos para todos los que vayáis a pasar las navidades lejos de la familia.

Continuamos la serie de visualización de ecuaciones diferenciales (que empezó con este artículo sobre visualización de campos de direcciones).

Hoy traigo un applet complicadillo, pero que será del agrado de aquellos estudiantes que hayan pasado o estén pasando por un curso de ecuaciones diferenciales.

El applet de hoy trata sobre el concepto conocido como plano de fases. El plano de fases es una potente herramienta gráfica que permite analizar ciertos tipos de sistemas de dos ecuaciones diferenciales sin necesidad de resolverlas.

En las cajas de la izquierda puede introducirse el sistema a resolver y, desplazando los puntos verdes, se puede jugar con diferentes condiciones iniciales.

Como curiosidad: el ejemplo que viene precargado representa la dinámica de un péndulo sometido a rozamiento (con la posición en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical).

Puedes descargar el original aquí.

¿Es tu primera presentación en un congreso?, ¿tu primera sesión de pósters quizá?, presta atención a estos anti-consejos que te guiarán con paso firme hacia el más absoluto de los tedios:

En primer lugar, necesitas un buen título. La regla de oro es: más es mejor. No escribas menos de línea y media. Añade además alguna conclusión en el propio título, por aquello dotarlo de dinamismo. Los títulos cortos y concisos son cosa del pasado, de un pasado oscuro y tenebroso con títulos horribles, como Almagesto o Cosmographia. ¡Baste decir que jamás contenían la palabra assessment!

Existe un único contraejemplo al principio básico de más es mejor. Los conceptos realmente importantes debes escribirlos siempre como un acrónimo, y sin aclarar jamás su significado. Asegúrate de que las siglas aparezcan entre las dos o tres primeras palabras que pronuncies: el público no especializado agradece el detalle de que los pierdas al comienzo, pues así tienen más tiempo para irse a tomar un café.

Veamos un ejemplo práctico: Darwin utilizó un título mediocre para su obra magna: El origen de las especies. Yo propongo, en cambio: La SN y su papel en el desarrollo filogenético: conceptos, definiciones, desafíos y fronteras, ¿estamos ante un nuevo paradigma? No me negarán que hubiese molado mil veces más.

Portada críptica
Acrónimos, acrónimos por todas partes

En cuanto al propio acto de la presentación: lee, lee siempre. Los esforzados programadores de PowerPoint no se han estrujado las meninges para que tú seas el protagonista. El archivo .ppt debe ser tu dueño y señor. Riega generosamente tu discurso con frases llenas de subordinaciones (mejor aún si te pierdes y no llegas a cerrar la frase), pausas innecesariamente largas, miradas en blanco y abundantes “eehhmmm”: son detalles que te harán parecer más erudito y concentrado. No olvides además que en algunos congresos dan un premio al titubeo un millón.

Los organizadores también merecen su minuto de gloria. Asegúrate de que están bien a la vista de todo el público, por ejemplo, en una mesa en semipenumbra con varias jarras de agua. Es importante que devuelvan la mirada al público asistente con cara de mortal aburrimiento. Puntos extra si alguno de ellos lanza miradas desafiantes hacia la multitud.

La gestión del tiempo es fundamental en una presentación, por eso hay un par de reglas no escritas que debes cumplir a rajatabla:

  • Si te estás quedando sin tiempo, invierte dos minutos en explicar que te vas a saltar una parte que te llevaría medio minuto explicar…
    • … y finalmente cambia de idea, ¡y explícala!
  • Si te has pasado de tiempo, es probable que algún organizador se levante y empiece a mirarte fijamente. Obviamente es la señal de que ha decidido concederte más tiempo. Como muestra de agradecimiento, y para hacerle saber que has captado el mensaje, tienes que empezar a mirar hacia otro lado y hablar más alto.

Naturalmente, se requiere cierta preparación para hacer frente a la temida sesión de preguntas. La regla de oro en este caso es: prepara una o dos respuestas y suéltalas con absoluta independencia de cuál haya sido la pregunta.

Y para acabar, un consejo a los asistentes: pregunta, pregunta siempre. Incluso, o más bien especialmente, si no tienes ni idea del tema. Todas las miradas están puestas en ti, ¿no lo notas?, tu pregunta es fundamental… es tu deber rellenar ese silencio incómodo, ¡adelante!

Pero, ¿cómo preguntar cuándo no se tiene ni idea del tema tratado? Es más fácil de lo que parece: siempre puedes hablar de otro tema no relacionado con el que sí te sientas más cómodo. En caso de no haber ningún tema con el que te sientas cómodo, usa el siguiente truco: si se trata de un experimento con, pongamos, larvas de mosquito, pregunta que por qué no lo han hecho con pulgas de agua (y viceversa). Si se trata de una simulación con N dimensiones, pregunta por qué no se ha hecho con N+1. Si todo lo anterior falla, siempre puedes preguntar al ponente su opinión personal sobre algo fuera del alcance de la investigación en curso… ¡para luego discutírsela!

Y aquí acaba este compendio humorístico. ¿Tienen más propuestas?, les invito a dejarlas en los comentarios.

Acabo de regresar a Holanda después de unas vacaciones magníficas, cuyo punto fuerte ha sido un congreso científico. Y dirán ustedes, queridos lectores, ¿qué persona en su sano juicio pasa parte de sus vacaciones en un congreso? Puedo explicarlo, no es lo que parece… el congreso era el Naukas 2016, que tuvo lugar, como cada año, en Bilbao. Allí lo pasamos como enanos y, adicionalmente, presenté esta charla de diez minutos, cuyo título es: “De profesión, futurólogo”

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Las ecuaciones diferenciales son una de las pesadillas clásicas de todo estudiante. Por lo general, uno se topa con ellas en los primeros años de cualquier carrera técnica.

Si eres estudiante y te estás peleando con este tipo de ecuaciones, el applet que presento en este post te puede resultar interesante. En él podemos visualizar (y manipular) el utilísimo concepto de slope field o “campo de direcciones” para una ecuación diferencial del tipo:

El truco para dibujar un campo de direcciones consiste en interpretar la ecuación diferencial como una receta que, a cada punto del plano (x,y), asigna una derivada (dy/dx). Dibujando una serie de pequeñas rectas, orientadas según la derivada correspondiente a la posición que ocupan, podemos hacernos una idea visual de cómo se comportarán las soluciones, que, como sabrás, deben ser tangentes a todas las rectas por las que pasen. Por así decirlo, es como si la ecuación diferencial llenase el plano con “señales” de tráfico indicando a la curva hacia dónde moverse a cada paso.

En la caja superior izquierda se puede introducir la función f(x,y) que uno quiera (si se desea, se pueden incluir hasta dos parámetros en ella). Arrastrando los puntos verdes se modifican las condiciones iniciales, y las curvas mostradas son soluciones numéricas a la ecuación diferencial. Se permite representar dos soluciones diferentes.

Lo mejor es jugar un poco con él. En algunos ordenadores puede correr un poco lento. Una alternativa es descargar el original y abrirlo con GeoGebra.

Este artículo forma parte de la sección Ciencia interactiva. El material original está disponible en GeoGebraTube

El otro día me enteré, a través del boletín universitario, de que varios estudiantes habían manifestado su malestar ante una exposición artística que está siendo acogida en uno de los edificios del campus. Varios estudiantes pedían nada menos que su censura y retirada por parte de alguna autoridad competente. El más vehemente de todos ellos manifestaba (en traducción libre) que a nadie le parecería de buen gusto, por ejemplo, “colgar fotos de zonas de guerra mostrando cadáveres despedazados tirados por la calle”.

¿Qué diabólica exposición es esta para suscitar semejantes reacciones?, ¿qué salvajada han colgado en las paredes que fuese comparable a un espectáculo sangriento? Pues bien, se trata simplemente de una colección de retratos de Francien Krieg. ¿El escándalo?, algunos de los retratos mostraban personas desnudas. El hecho de que fuesen personas de ambos sexos y diferentes edades, lejos de apaciguar las críticas, ayudó a que cada cuál encontrase su nicho para clamar contra la exposición (al que no le molestó que apareciesen mujeres, le molestó que apareciesen ancianos, y así…).

Es cierto que los ofendidos son más proclives a expresar sus opiniones que los que están conformes, pero aún así, que exista semejante debate pre-renacentista a estas alturas de la historia me resulta sorprendente. Un poco más, si cabe, en una universidad especializada en ciencias biológicas.

Uno de los cuadros
Uno de los cuadros

Y es que parece que, como antaño el foxtrot, el bugalú o la música disco, la censura está de moda entre la juventud. O al menos entre una parte importante de ella.

Es cierto que el tema de la libertad de expresión tiene sus matices, pero estos se suelen dar en los extremos (y una exposición de pintura no es precisamente extrema en ningún sentido). Suelen ser esos extremos muy locos que tanto gustan a los filósofos (“¿qué hacemos si alguien grita fuego, se produce el pánico y alguien sale herido o, peor aún, muerto?, ¿atentaría contra la libertad de expresión moler a collejas al bromista?”).

¿Y a qué llamo yo caso extremo?, vamos con un didáctico ejemplo: puedo comprender sin objeción alguna que la estrella del punk GG Allin fuese expulsada (de por vida) la Universidad de Nueva York en 1991 tras meterse un plátano en el recto y pelearse con el público durante su performance en el campus (más información sobre este notabilísimo hecho aquí), de hecho, me compadezco de la persona al cargo ante semejante percal. Pero una exposición de pintura… ¡venga ya!

Carta de expulsión de GG Allin en la NYU
Carta de expulsión de GG Allin en la NYU

Me entristece y preocupa ver este tipo de actitudes autoritarias en jóvenes y, más especialmente aún, dentro de una universidad, pero mi sentido arácnido me dice que no será la última vez que me tope con una situación semejante.

La relación con los libros de matemáticas suele ser poco cordial. Por lo general, sus contenidos son duros de entender, y requieren un tipo de lectura muy distinto al requerido por, por ejemplo, una novela. Con eso y con todo de vez en cuándo todos nos hemos topado con enunciados tan sencillos que parece mentira que alguien se tome la molestia siquiera de escribirlos. Uno de los más conocidos es el de la descripción de los elementos neutros.

No subestimes el poder del cero
No subestimes el poder del cero

En lenguaje coloquial todo el mundo entiende que sumar cero o multiplicar por uno es lo mismo que no hacer nada. Pues bien, un matemático diría que cero es el elemento neutro de la suma, y uno el de la multiplicación.

Dos auténticas chorradas, ¿verdad? Pues bien, aunque parezca mentira estos resultados no son solo importantes sino que incluso pueden ser útiles para resolver problemas. Y no me refiero precisamente a problemas avanzados, sino al tipo de problemas que pueden caerte en un examen en el instituto.

Como por ejemplo, cambiar las unidades de una magnitud de litros a metros cúbicos, o denewton a dina (afortunadamente en desuso), etcétera. Este tipo de problemas son un quebradero de cabeza para la gran mayoría de estudiantes. Se trata de cálculos rutinarios con muchas probabilidades de cometer un error.

Imaginemos un caso fácil: queremos reexpresar 170 centímetros en metros. Una forma de no equivocarse al expresar una magnitud en unidades distintas es… rajarse y expresarla en la unidad original. Así, al menos nadie podrá decirnos que nos hemos equivocado:

170 cm = 170 cm

Sin embargo, esto es como no hacer nada. ¿Un momento?, ¿he oído no hacer nada?, ¡elemento neutro al rescate!, ¡multipliquemos por uno!

170 cm = 170 cm \cdot 1

Una vez más estamos totalmente seguros de que nuestro resultado, al menos, es correcto… aunque no parece muy útil. Curiosamente, podemos mejorarlo recordando que la división de dos magnitudes iguales es idéntica a 1. Por ejemplo, 1/1, 10/10, 15/15… todos valen 1. Es decir:

\frac{igual}{igual} = 1

Y, por ejemplo, dos magnitudes que sabemos que son iguales son 1 m y 100 cm, ¿verdad? Podemos escribir entonces:

\frac{1m}{100cm} = 1

Y también:

\frac{100cm}{1m} = 1

Si volvemos ahora a nuestro cambio de unidades, lo que quisiéramos es multiplicar por algo que:

  1. No se cargue el resultado (es decir, multiplicar por uno)
  2. “Quite” los centímetros
  3. “Ponga” metros

Así pues, buscamos multiplicar por una fracción con este aspecto:

170cm = 170cm \cdot \frac{?m}{?cm}

Si rellenamos las interrogaciones de modo que la fracción entera valga 1, habremos hecho el cambio de unidades correctamente:

170cm = 170cm \cdot \frac{1m}{100cm} = 1.70 m

Este ejemplo puede parecer una chorrada, pero no olvides que es solo un ejemplo. Para cálculos más complicados puede ser tremendamente útil usar el método del elemento neutro, ya que permite encadenar varios pasos de forma clara y ordenada. Por ejemplo, aquí se multiplica dos veces por uno:

1 \frac{g \cdot cm}{s^2} = 1 \frac{g \cdot cm}{s^2} \cdot \frac{1kg}{1000g} \cdot \frac{1m}{100cm} = 10^{-5} \frac{kg \cdot m}{s^2}

Usando el elemento neutro también queda claro cómo se hacen los cambios de unidades con unidades al cubo o al cuadrado, como en este cambio de metros cuadrados a centímetros cuadrados:

1 m^2 = 1 m^2 \cdot \frac{100cm}{1m} \cdot \frac{100cm}{1m}

Hasta aquí hemos usado el elemento neutro para el producto, ¿y el elemento neutro para la suma?, ¿tiene alguna utilidad sumar cero?

En efecto, la tiene: por ejemplo, a veces se puede usar para dividir polinomios (otra tarea común en el instituto). El truco aquí es sumar y restar x (es decir, sumar cero):

\frac{1}{1 - x} = \frac{1 + 0}{1 - x} = \frac{1 + x - x}{1 - x} = \frac{1-x}{1-x} + \frac{x}{1-x} = 1 + x \cdot \frac{1}{1-x}

Y es que en matemáticas, hasta las chorradas tienen su enjundia.