Autovalores y autovectores

A muchos de los que cursaron álgebra lineal en sus primeros años de universidad les habrán entrado picores con tan sólo leer el título de esta entrada. Autovectores y autovalores son dos conceptos que surgen en el estudio de las aplicaciones lineales, y que suelen dar más de un quebradero de cabeza a los estudiantes que tienen que enfrentarse a ellos.

El applet que presento a continuación es el applet que me hubiera gustado tener a mi disposición en mis tiempos de estudiante. Lo interesante es que permite buscar autovectores a ojo, sin necesidad de pararse a ejecutar complicados algoritmos (como cuando lo hacemos con lápiz y papel). Así, podemos centrarnos en la idea geométrica de autovector.

¿Y de qué ideas geométricas hablamos?, pues básicamente de tres:

  1. Las aplicaciones lineales son el tipo más sencillo de funciones que comen vectores y devuelven vectores
  2. Si alimentamos una aplicación lineal con un autovector, el vector salida tendrá la misma dirección que el vector entrada (pero no necesariamente el mismo sentido)
  3. Dos vectores con la misma dirección sólo pueden diferir en longitud. La proporción de longitudes entre el autovector entrada y el vector salida es el autovalor correspondiente

Encontrar autovectores se reduce pues a mover el vector negro hasta que el vector rojo apunte en la misma dirección. Moviendo el punto azul se controla el vector de entrada; el vector rojo representa la salida. Los coeficientes de la matriz pueden modificarse a voluntad.

Otras dudas que se pueden resolver usando este applet son:

  • ¿Por qué algunas aplicaciones lineales no tienen autovectores*? (prueba introduciendo la matriz a = 0, b = -1, c = 1, d = 0)
  • ¿Por qué algunas aplicaciones lineales tienen menos autovectores que dimensiones? (prueba introduciendo la matriz a = 1, b = 1, c = 0, d = 1)
  • ¿Es posible tener una aplicación lineal para la cuál todos los vectores sean autovectores? (prueba con a = 2, b = 0, c = 0, d = 2)

Espero que sirva de ayuda.

*: para los puristas: sí, sé que esta frase no es del todo correcta. Todas las aplicaciones lineales tienen autovectores si permitimos que estos sean complejos, pero eso está totalmente fuera del alcance de este artículo.

7 Comentarios

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Pablo Rodríguez

Corregido, aunque no con el ejemplo que suponías.

De hecho, el ejemplo que sugieres es el número 2: una flamante forma canónica de Jordan.

¡Gracias, compi!

FelipeFelipe

Bueno, hay dos tipos de personas: los que son capaces de autocorregir información incompleta o defectuosa.

GerardoGerardo

BUENISIMO! lastima que llega 20 años tarde, cuando estaba estudiando eso en ingenieria, seguro recordara todavia esas lecciones

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