¿Cocodrilo o fotón?

Hace algunas semanas corrió por las redes sociales el siguiente problema propuesto en un examen de acceso a las universidades escocesas:

croc

Para una traducción al español y resolución detallada del problema, recomiendo esta entrada de Gaussianos. Sin embargo, les gustará saber que no será necesario ese nivel de detalle para comprender la entrada que nos ocupa: basta notar que, si el cocodrilo se mueve a diferentes velocidades en agua y tierra, el punto en el que toque tierra determinará el tiempo total que invertirá en alcanzar su presa.

Pero vamos con un ejemplo algo más cotidiano que nos lleva a un problema totalmente equivalente. Imaginemos a un socorrista vigilando una piscina, y a un nadador que le pide auxilio. Supongamos que están colocados más o menos así:

00

Como todos sabemos, un socorrista se mueve más rápido en tierra que en el agua, de modo que quizá la ruta en línea recta (ruta 1) no sea la más rápida. Si nos desviamos un poco para pasar más tiempo corriendo en tierra (ruta 2), podemos conseguir un mejor tiempo.

01

Naturalmente, lo ideal sería que el socorrista lograse acceder al nadador en el menor tiempo posible. Este tipo de problemas se conocen como problemas de optimización (por razones obvias) o de cálculo variacional. Aunque pueda sonar muy avanzado, lo cierto es que algunos de dichos métodos se estudian en bachillerato… ¿recordáis aquellas “inútiles” derivadas? Para un ejemplo sencillo de aplicación, ver la resolución del problema del cocodrilo mencionado anteriormente.

Aunque no haré aquí el desarrollo, sí dejaré la solución. Para interpretarla, vendrá bien utilizar un par de ángulos:

02

Siendo así las cosas, el tiempo que tarda el socorrista en rescatar al nadador es mínimo cuando se cumple la siguiente condición: \frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}

A más de uno la ecuación le recordará a la ley de Snell para la difracción, que se estudia en secundaria. No es casualidad. La luz tiene una propiedad muy interesante: cuando se lanza un rayo de un punto a otro, este siempre recorre el camino que minimiza el tiempo del recorrido*. Por eso la luz:

  • Viaja en línea recta si su velocidad es constante en el medio**.
  • Se curva cuando atraviesa medios por los que se propaga a diferentes velocidades.

De modo que cuando la luz atraviesa dos medios separados por una interfase plana, los rayos cumplen exactamente la misma ecuación que nuestro socorrista.

Refraction_photo

El caso del cocodrilo es un poco más complicado de comparar con un ejemplo óptico por el hecho de que la cebra está pegada a la orilla, pero también se puede hacer: el cocodrilo se comporta como un fotón en ángulo crítico.

Y es que en física es muy común encontrar este tipo de comportamientos que tienden a minimizar el valor de ciertas cantidades (tiempo de “vuelo” de un electrón, energía potencial de un sistema, etcétera). Como también es común que, en matemáticas, hasta el aparentemente más artificial de los problemas encuentre aplicación en los lugares más inesperados. ¿O acaso alguien esperaba que un cocodrilo y una partícula fundamental tuviesen algo en común?

*: más exactamente, la longitud de camino óptico.

**:

tirqg

4 Comentarios

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Pablo Rodríguez

Ya me extrañaba ser el primero que había notado el paralelismo con el principio de Fermat. El problema del socorrista es un clásico que aparece, si no recuerdo mal, en las Feynman’s Lectures.

Por cierto, interesante blog.

Juan MS

Gracias, Pablo. Efectivamente, es un clásico, y una de las razones por las que me animé a escribir ese post (bueno, una serie de tres, nada menos…) es porque no vi que nadie lo comentara. Es una pena que en estos casos las noticias suelen quedarse en que si muy difícil, en tal o cual broma… cuando sería una buena ocasión para aprender algo interesante.

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