¿Qué es una escala logarítmica?

Por Pablo Rodríguez, el 20 marzo, 2020. Categoría(s): Matemáticas • Textos ✎ 9

La crisis del COVID19 ha venido acompañada de varios efectos secundarios. A la escasez de papel higiénico y los DJs de balcón se unen otras desgracias, como la omnipresencia de escalas logarítmicas en la prensa.

Pero, ¿qué es un logaritmo*? Aquí viene el primer problema: la definición con palabras cotidianas del logaritmo es casi un trabalenguas:

El logaritmo del número x es aquel número y tal que 10 elevado a y nos da x

¿Horrible, verdad? En mis tiempos de profesor, esta otra «definición» siempre me funcionó mucho mejor. El logaritmo de x es la respuesta a esta pregunta:

El logaritmo de x es la respuesta a esta pregunta

 

El concepto queda aún más claro con unos pocos ejemplos:

  • log(10) = 1, porque 10 elevado a 1 es 10
  • log(100) = 2, porque 10 elevado 2 es 100
  • log(1000) = 3, porque 10 elevado a 3 es 1000
  • log(10000) = 4, porque 10 elevado 4 es 10000

¿Y cuánto valdrá, por ejemplo, log(31)?, pues este es más difícil de hacer sin una calculadora, pero es razonable esperar que esté entre log(10) y log(100), esto es, será un número entre 1 y 2. ¿Y log(524)?, pues así, sin calculadora, sólo puedo decir que estará entre 2 y 3.

Aquí viene la observación clave: mientras que x aumentó de 10 a 100, su logaritmo sólo aumentó de 1 a 2. Para llegar a 3, ha habido que esperar a que x llegue a 1000. Al 4 no se llega hasta 10000. En resumen: el logaritmo de x aumenta mucho más despacio que x.

¿Y esto por qué es útil?

Pongámonos en la piel de un epidemiólogo. Cada día están recibiendo datos actualizados del número de casos de infecciones, un número que, por desgracia, crece cada vez más rápido en las primeras fases de la epidemia. Si representamos información como esa en escala lineal (la escala a la que todos estamos acostumbrados), los datos correspondientes a hace unos días quedan completamente opacados por el enorme tamaño de los actuales. La escala logarítmica arregla esto, como mostramos en la imagen de abajo.

Simulación (sin valor predictivo alguno) del número de personas que han sido infectadas, en escala lineal y logarítmica. Los datos en ambos gráficos son exactamente los mismos. La escala, en cambio, es lineal en el gráfico superior y logarítmica en el inferior

Esto es especialmente importante cuando se comparan resultados entre, por ejemplo, diferentes países. Estos días todos hemos oído expresiones como «España está en la misma situación que Italia hace unas semanas». Si queremos visualizar esto gráficamente, representando los datos en escala lineal no vamos a ver gran cosa, mientras que en escala logarítmica vemos todo más claramente (ver abajo). Y, al menos lo que yo veo, no resulta del todo tranquilizador.

Situación a 19 de Marzo de 2020. Imagen de John Burn-Murdoch

Para los que quieran hilar más fino

El lector más inquisitivo se estará preguntando: ¿y por qué el logaritmo?, ¿acaso no hay otras funciones de x que aumenten mucho más despacio que el propio x? Sí, sí que las hay, pero el logaritmo funciona especialmente bien.

La razón por la que usamos precisamente un logaritmo es porque los epidemiólogos han establecido que la tasa inicial de crecimiento del número de casos es de un 33% diario (lo de tasa inicial es importante, ya que esta tendencia acabará por reducirse**). Esto equivale a multiplicar por 10 el número de casos cada ~8 días. Esto es, el número de casos crecerá inicialmente como 10 elevado al tiempo pasado medido en periodos de 8 días. Esto significa, entre otras cosas, que se tarda el mismo tiempo en pasar de 1 a 10 casos, que de 10 a 100 (8 días en ambos casos).

En escala logarítmica, gracias a la capacidad del logaritmo para «deshacer» potencias de 10, un incremento a tasa fija se convierte en una línea recta (línea punteada en el gráfico de arriba). El objetivo prioritario de las autoridades es hacer que las curvas crezcan más despacio que ese 33% diario lo antes posible. Es decir, que estén menos inclinadas que la línea punteada.

No hablaremos aquí de otros problemones derivados de comparar datos de diferentes países. Entre estos están, por citar algunos ejemplos, los ajustes de la escala temporal (¿cómo comparar dos series de datos si en una la crisis empezó más tarde que en otra?), los ajustes por densidad de población (¿cómo comparar la gravedad de la situación en países con diferente población?) y, quizá el más importante, ¿cómo comparar datos si cada país usa un criterio diferente (y a menudo cambiante) para establecer que un paciente está infectado?


*: hablaré aquí solamente de logaritmos decimales.

**: y no sólo por que se están tomando medidas, sino porque la cantidad de personas susceptibles de enfermar no es ilimitada.


Referencias

  • Hilo de Twitter de John Burn-Murdoch (en inglés), analista de datos del Financial Times.


9 Comentarios

  1. Pablo, no se pueden comparar datos de contagio por ese criterio cambiante que mencionas. El criterio más estándar posible es medir el número acumulado de decesos por coronavirus.
    La última gráfica que pones de Burn-M, no explica el porqué (a 19 de Marzo) España y Reino Unido son los países que más alejados están de esa pendiente del 33% que aparece como una línea negra discontinua. Para mí la explicación es bien sencilla: el populismo y la irresponsabilidad de sus gobiernos. En España, en contra de toda lógica, se permitió la manifestación feminista el 8-M; y en el Reino Unido se ha permitido seguir jugándose la Premier hasta hace muy poco.

    1. Se permitió seguir el ritmo de vida normal, no solo hubo manifestaciones, si no partidos de fútbol, gente en los bares y calles haciendo vida normal, congresos de partidos políticos… achacar El Progreso de la enfermedad a una manifestación únicamente es bastante pobre

      1. Exacto. Pero no fue sólo la manifestación, fue la innactividad para poder celebrarla e incluso la promoción que hubo para asistir, desoyendo los mensajes de la OMS y de Europa y habiendo visto varios países caer, incluido Italia, lo que nos ha llevado a estar como estamos.

        El domingo del 8M de repente se acordaron de que existía el coronavirus y decretaron el cierre de colegios para el día siguiente. Se pasó de pedir la movilización de masas al cierre de colegios en menos de 6 horas.

        Sólo hace falta sumar 2 y 2.

      2. El problema no fue directamente el 8M. El problema fue que para poder celebrar el 8M se dijo que se podían celebrar reuniones sin problemas, y eso es lo que hizo todo el mundo. Mientras todos los que organizaban sus reuniones lo hacían porque el responsable decía que no había problema, este lo decía únicamente para poder celebrar su manifestación. Hubiera quedado extraño que cerrara estadios y prohibiera el miting de VOX, y siguiera celebrando el 8M diciendo que no había problema para ir.
        Es como el arquitecto de un edificio que viendose que puede haber problemas estructurales realiza los análisis y estudios pertinentes, y con los resultados en su carpeta anuncia que se pueden celebrar reuniones en el edificio, incluida la boda de su hija, por lo que todos los demás vecinos tambien pueden celebrar sus fiestas. Cuando el edificio se cae no es por la fiesta del arquitecto (o no solo por eso). Es porque este, para poder celebrar su fiesta, dijo a todos los vecinos que no había problemas y que se podian hacer fiestas en el edificio.

    2. Pues el título de la única gráfica que veo en este artículo es precisamente, «número acumulado de muertes contra número de dias, contados desde la décima muerte».
      Al parecer el criterio de la pendiente de 33% aplica ya sea expresado en contagios o en defunciones. Pregunto.

  2. No sé si Pablo Rodríguez se dedica ahora a censurar los comentarios en esta entrada o si no funcionan bien los comentarios cuando pones enlaces a otras páginas web. El caso, es que «Alf» tiene una opinión y Yeil, Daniel y yo tenemos otra. Pero esto no se dirime en los comentarios de un blog (ni, por supuesto, en las comisiones de investigación del congreso): ya hay una denuncia por presunta prevaricación de Pedro Sánchez al convocar la manifestación feminista del 8-M (buscad la info en internet) y será la vía judicial la que depurará, si cabe, responsabilidades.

  3. Pues este otro mensaje «2211» salió sin problemas … no sé qué pasa entonces. Otro mensaje mío enlazando esa denuncia contra Sánchez no salió. Tal vez haya problemas con el botón «responder» (si este otro mensaje también sale sin problemas, será esto). Bueno, ya lo arreglaréis.

  4. En anterior artículo, interesante y claro se expone algo que en este sale recalcado:
    1 Del artículo se desprende la importancia de detectar los contagiados cuanto antes y separarlos de los no contagiados para hacer mínimo en el tiempo y en el número de afectados (sanen o mueran) el efecto de la ya declarada pandemia.
    2 En la práctica no ha habido hasta la fecha (25-03-20) y no tiene pintas de que vaya a haber en unas semanas una implementación MASIVA (por lo menos a todos los sintomáticos y a colectivos de riesgo) de test de diagnóstico que permitan ese triaje eficaz.
    3 ¿Por qué a pesar de saber no se actúa de forma consecuente?…por mucho que lo intento «racionalizar» siempre llego a la conclusión de que hay fuerzas inexplicables que provocan movimientos incomprensibles, marxismo (Groucho)puro: plantean (quienes sea que lo hacen)problemas para los que proponen soluciones falsas y acaban tomando medidas inadecuadas…

Deja un comentario

Por Pablo Rodríguez, publicado el 20 marzo, 2020
Categoría(s): Matemáticas • Textos