Ayer publiqué un tuit que, contra todo pronóstico, tuvo bastante éxito. Digo contra todo pronóstico porque el tuit trataba nada menos que de integrales y derivadas. Decía lo siguiente:

¿Qué edad tenías cuándo te enteraste de que la integración por partes y la regla del producto son lo mismo? [link]

La integración por partes es ese «truco» para integrar funciones «complicadas» que a casi todos nos enseñaron en el instituto. La fórmula tiene el siguiente aspecto:

y solía ser un quebradero de cabeza memorizarla. Un truco muy común para no olvidarse del orden de las us y las uves era usar la frase: un (u) día vi (dv) una (u) vaca (v) vestida (v) de uniforme (du).

Por otro lado, la regla del producto nos dice que la derivada del producto de dos funciones es la suma de la derivada de la primera por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda por la primera sin derivar. Frases como esta son la razón por las que es mejor usar fórmulas:

De las respuestas que recibí, aprendí dos cosas:

1. Que muchísima gente conoce la surrealista historia de la vaca, pero no tantos saben que esta fórmula es lo mismo que la regla del producto para derivadas.
2. Que mucha gente responde en serio a preguntas retóricas.

Como hubo quién me pidió aclaraciones, aquí dejo una explicación más desarrollada en cinco pasos:

1. Escribimos la regla del producto. Por comodidad, la he escrito de derecha a izquierda.
2. Hacemos algo que pone muy nerviosos a los matemáticos: multiplicar a ambos lados por el diferencial dx.
3. Integramos ambos lados.
4. La integral de una suma es la suma de las integrales. La integral de un diferencial es el interior del diferencial (más constante de integración, pero ignoremos eso de momento).
5. Despejamos la integral de u dv y, voilá.

Si, con esto y con todo, prefieres memorizar la fórmula, te aconsejo que la memorices como en el paso cuatro:

¿La razón?: esta fórmula es completamente simétrica. Si intercambias u y v, sigue siendo correcta. O lo que es lo mismo, si te equivocas y confundes u con v, no metes la pata.

Bola extra: Si la integración por partes y la derivación de un producto son lo mismo, ¿es posible integrar usando sólo la regla del producto? La respuesta es sí. Si te interesa, échale un vistazo a mi colaboración con Gaussianos: Integrando por partes like a boss.