Derivando sin restar

El otro día, curioseando por Internet, llegó a mis ojos una de esas cosas que te hacen exclamar: “¡¿por qué nadie ma había contado esto antes?!”.

Aquellos de ustedes que hayan estudiado una carrera de ciencias, habrán pasado por el trance de estudiar las series de Taylor. Aquellos que no, y a pesar de ello quieran seguir leyendo, quizá quieran echar un vistazo a esta simulación. La idea es que, conociendo el valor de una función y sus derivadas en el punto x podemos estimar su valor en un punto cercano, x + e. Concretamente:

Ejemplo de serie de Taylor

Si en lugar de dar “un pasito palante” en el mundo de los números reales, lo hacemos en el de los números imaginarios, tenemos:

Y aquí es cuando la cosa se pone interesante. Si tomamos la parte imaginaria a ambos lados de la ecuación, nos queda una relación que involucra solamente a la derivada, a la función evaluada en el plano complejo, y al tamaño del paso:

Nos quedamos con la parte imaginaria

Obtenemos una interesante fórmula para aproximar la derivada:

o incluso para calcularla de forma exacta:

Y esta astracanada… ¿tiene alguna utilidad?

Lo sé, lo sé… todo este galimatías parece un pasatiempo complicado e inútil, un auténtico tour de force. Sin embargo, en matemáticas es dificil hacer algo que carezca de aplicaciones, y nuestra derivada con paso complejo no es una excepción.

Pero antes de continuar, me veo en la penosa obligación de mostrar una última fórmula (que probablemente les resulte más familiar), la forma típica de una derivada numérica:

Si intentamos usar esta fórmula para aproximar numéricamente una derivada usando una computadora, nos encontraremos con que la resta produce problemas. Debido a que toda computadora redondea los valores que almacena, si nuestro epsilon es muy pequeño, será incapaz de distinguir f(x + e) de f(x), y la resta del denominador nos devolverá un cero (y se cargará todo el cálculo).

La principal ventaja de usar la derivada con paso complejo es que, al no haber resta, nos ahorramos este problema en particular.

Para profundizar más, tirar de este hilo: Differentiation without a difference. SIAM news.



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Por Pablo Rodríguez
Publicado el ⌚ 20 agosto, 2018
Categoría(s): ✓ Matemáticas • Textos