De vez en cuando recuerdo mis tiempos en el instituto (y según el día también me echo al suelo en posición fetal al recordarlos). Por aquel entonces, las matemáticas se convirtieron en mi asignatura más odiada y, muy a menudo, suspendida. Como muchos otros estudiantes, me topé con ese par de pesadillas matemáticas que, como el hombre del saco, dejan de asustarte a partir de cierta edad. Me refiero a las derivadas y las integrales. Hoy hablaré solamente de las primeras, y que no se asuste nadie, a pesar de las fórmulas, no resolveré ni desarrollaré nada… simplemente hablaré de su aspecto.

Decía Richard P. Feynman que:

Las matemáticas son, en gran medida, el arte de inventar notaciones mejores.

Se trata de una frase muy apropiada para alguien que inventó un modo gráfico, bastante útil, limpio e incluso estético, de interpretar las interacciones entre partículas subatómicas. Pero no nos llevemos a engaño… no hace falta acudir a las altas cimas de la física de partículas para encontrar ejemplos en los que una buena notación puede facilitarnos la vida, o una mala dificultárnosla innecesariamente. Si no me creen, prueben a hacer multiplicaciones con lápiz y papel, pero usando números romanos.

Volviendo a mis problemas con las derivadas, recuerdo que, tras muchos quebraderos de cabeza, descubrí que un simple cambio de notación mejoraba enormemente mi rendimiento en los ejercicios: se trataba de la conocida como notación de Leibniz. Quizá con ese nombre no suene muy familiar: ¿qué tal notación “de primas” y notación “de diferenciales”? La siguiente figura ayudará a refrescar la memoria:

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Ambas significan exactamente lo mismo: derivada

Por motivos que jamás comprenderé (agradezco si alguien arroja algo de luz en los comentarios) los libros de texto de bachillerato de matemáticas utilizaban notación de Lagrange, mientras que los de física utilizaban notación de Leibniz.

Llegados a este punto mis lectores pensarán algo como: “¡No me jodas Pablo!, ¿en serio tienes una opinión apasionada sobre notaciones?” Pues en efecto, la tengo; es más, me considero un auténtico hooligan de la notación de Leibniz. Muy especialmente cuando se trata de enseñar a derivar a principiantes como el que yo fui. Expondré mis motivos:

La notación de Lagrange es una rareza: solamente se usa para derivadas de funciones de una variable. Para integrales y funciones de varias variables se usa siempre la notación de Leibniz, de modo que vas a tener que aprenderla te guste o no. ¿Sabes qué pinta tiene una integral en notación de Lagrange?, probablemente no, porque apenas se usa. Si sientes curiosidad, mira la figura a continuación:

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¿No te suena la notación de Lagrange para integrales?, es normal, ¡nadie la usa!

Quizá el lector recuerde que el diferencial (dt en el ejemplo anterior) jugaba cierto papel a la hora de hacer integrales. Hasta el punto de que existe un método, el de integración mediante cambio de variable, que obliga a hacer ciertas operaciones con él. Pues bien, esto también es cierto (y esencialmente por los mismos motivos) en el caso de las derivadas, como veremos en el siguiente apartado.

La regla de la cadena es sencillísima usando notación de Leibniz: este es sin duda el motivo más importante. La mayoría de ejercicios de derivación a los que se enfrentan los estudiantes no son difíciles, pero son enrevesados. Exigen la aplicación sucesiva de varios pasos sencillos. Uno de los métodos que más quebraderos de cabeza causan es el de la regla de la cadena, usado para derivar funciones compuestas. Veamos un ejemplo mínimo:

Regla de la cadena en la notación de Lagrange
Regla de la cadena en la notación de Lagrange

Para empezar, escrita así es una regla difícil de recordar. Además, en cada caso, el símbolo ” ‘ ” significa derivada respecto a una variable diferente. La misma regla, escrita en notación de Leibniz, tiene este aspecto:

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Regla de la cadena con notación de Leibniz

Escrita así resulta no solo más fácil de recordar (parece un producto de fracciones en las que ambos du pueden eliminarse), si no también de aplicar, sobretodo cuando es necesario aplicar varias veces de forma sucesiva:

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Aplicando la regla de la cadena varias veces seguidas usando notación de Leibniz

Usando la notación de Lagrange el ejemplo anterior tendría un aspecto realmente enrevesado.

La notación de Leibniz permite definir un operador independiente. La notación de Leibniz es mucho más cómoda a la hora de definir un operador derivada, en abstracto:

Lo que me des, lo derivo respecto a t
Lo que me des, lo derivo respecto a t

¿Y para qué me sirve a mí un operador abstracto?, pensará el lector. Pues para algo bastante útil cuando te atascas en mitad de un examen: tomarte un respiro en mitad de un ejercicio. Cuando tienes que hacer una derivada larga, no es fácil escribir pasos intermedios usando notación de Lagrange, sin embargo con la notación de Leibniz puedes dejarte un buen trozo sin derivar y colocar el símbolo delante… para atacarlo después.

La notación de Leibniz es más cercana a la definición de derivada. Esto más que una razón es un por qué. Si echas un vistazo a lo que realmente es una derivada, verás que su estructura contiene una fracción:

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Es esta semejanza estructural de las derivadas con la notación de Leibniz es la que explica que, de forma natural, muchas propiedades de las derivadas se expresen de forma más clara con esta notación.

En resumen: ¡usa Leibniz, coñe!

Me interesa también vuestra opinión, ¿qué notación preferís para derivar?, ¡adelante con los comentarios!

Para más información sobre estas y otras notaciones aún más marginales, recomiendo este artículo de Wikipedia (en inglés): Notation for differentiation

Cuando uno estudia física automáticamente se significa como bicho raro. Es una mera cuestión de estadística: los físicos somos pocos. Esta escasez de físicos en la vida cotidiana de la mayoría de seres humanos da lugar a cierta incomprensión sobre a qué nos dedicamos exactamente. Nadie parece tener una clara respuesta para la pregunta: ¿para qué sirve exactamente un físico?

Una de mis obsesiones personales es la de la máxima cuñada que reza así: “después de estudiar física no hay más que paro”. Se trata de una frase llamativa que, por motivos que desconozco, no se suele aplicar a ninguna otra carrera de ciencias (con la excepción de matemáticas, nuestra hermana en dichas y desdichas). Y digo que es llamativa porque tanto física como matemáticas suelen estar en el top 10 de carreras con más empleabilidad de los programas universitarios… Si alguien tiene una idea de la procedencia de este mito, agradecería que me lo aclarase en los comentarios.

Otras confusiones habituales son considerar que la carrera es realmente física y química (como si no tuviéramos bastante con una solamente), o confundirla con educación física (confusión que empieza a ser alarmante cuando estás en tercero de carrera).

Por otro lado, está el apartado de dudas. Si eres físico, solamente es cuestión de tiempo que tu familia o amigos te llamen para preguntarte por alguna noticia de prensa (como la de la detección experimental de ondas gravitatorias de hace unos pocos días), pero aún más habitual es que te comenten cosas como las siguientes, todas ellas casos reales:

– He conocido a un terapeuta cuántico.

– ¿Y qué tiene de cuántico?

– Um… lo único que me quedó claro es que solamente acepta pagos en múltiplos de 9.

O la persona que, en el aeropuerto, tras cruzar el Atlántico en 8 horas dice:

– A ver cuándo inventáis el teletransporte, jaja jaja.

Incluso en la cola del súper una vez me dijeron:

– ¡A ver si os aclaráis de una puta vez con si el electrón es onda o partícula!

Tras una viril y sonora palmada en la espalda, se fue sin dejarme contestar.

O el inmortal clásico:

– ¡Tanta física y no sabes …!

Insértese en los puntos suspensivos cualquier habilidad o conocimiento no relacionado. Por ejemplo: jugar al golf, nadar a mariposa, que Brazatortas está en Ciudad Real y no en Córdoba, que la tortilla se hace con cebolla, etc

Luego está el apartado de los recados. Cuando eres físico, por muy físico teórico que seas, automáticamente te conviertes en el mozo del servicio técnico. En calidad de físico he arreglado ordenadores, grifos, lámparas, juguetes, … y desatascado cuatro retretes (y contando).

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No soy yo, pero bien podría

Pero sin duda el recado más rocambolesco e insólito, al menos hasta el momento, es el que recibí de un familiar hace poco mediante un mensaje de texto que comenzaba así:

“Hola Pablo, necesito tu ayuda.”

Hasta aquí todo normal, salvo porque el mensaje llegaba desde más de 1000 km de distancia, lo cuál lo volvía un tanto alarmante. ¿Qué podrían necesitar de mí en casa estando yo tan lejos de España? Sigamos leyendo para desvelar el misterio:

“Se ha muerto una rata dentro de la furgo.”

Una persona normal quizá hubiera tenido que leer esta línea dos veces, pero por motivos que no vienen al caso no es la primera vez que soy testigo de una situación así. Continuemos:

“¿Cómo puedo eliminar el olor?”

Aún a pesar de ser un problema bien definido, esta vez fracasé… de nada sirvió mi formación como físico, me encontré inerme ante el problema. De modo que lanzo la pregunta a los ilustres lectores de este blog. ¿Alguna idea?

Ya son varias las personas que se han acercado a mí, real o virtualmente, para pedirme consejo sobre cómo buscar un puesto de trabajo como investigador fuera de España. Llevo varios meses dándoles largas, pues no me siento capacitado para dar una receta, o mejor dicho, no lo estoy. Tampoco creo que exista una receta infalible. Por otro lado, los blogs de consejos laborales siempre me han dado algo de grima.

Lo más que puedo hacer para saldar mi deuda es compartir mi experiencia y dejar aquí una lista de ideas, no necesariamente ordenadas, que me hubiese gustado haber tenido claras al comienzo de mi búsqueda. Estos son mensajes le hubieran venido bien al Pablo de principios de 2015, nada más que eso.

Googlea inteligentemente. La mecánica habitual es la siguiente: un departamento busca potenciales investigadores relacionados con su área. Para ello, además de hacer correr la voz entre sus contactos, publican anuncios en la página web del propio departamento, que no suele ser precisamente una página popular. Tendrás que bucear en la web y dar con ella. Afortunadamente, vives en la era de la información; aprovéchalo.

¿Quieres trabajar, por ejemplo, en biología molecular como postdoc? Empieza por googlear “postdoc position molecular biology” y a ver qué aparece. Suele ir muy bien añadir el nombre de algún tipo de beca, algo tipo “Marie Curie” “open PhD position” “complex systems”. Esa, exactamente esa, es la que funcionó en mi caso. Probablemente verás montones de puestos pasados de fecha… pero recuerda que en Google puedes filtrar por calendario. Pídele que solo te muestre páginas publicadas hace dos meses o menos.

También puede ser buena idea hacer las búsquedas en modo incógnito, pues así el algoritmo de Google no dará preferencia a las páginas webs relacionadas con otras búsquedas, con tu ubicación geográfica, etc…

Curiosamente, en estos tiempos en los que existen webs especializadas centralizando todo tipo de servicios, no he logrado encontrar ninguna web especializada en puestos de investigación que me haya convencido.

Tus méritos no brillan por sí solos. De nada sirve que seas bueno en lo tuyo si hace falta irse de copas contigo para apreciarlo y tu potencial nuevo jefe está a 2000 km y te va a conocer a través de un pdf. Una de las cosas más valiosas que aprendí cuando estuve trabajando en una empresa privada es cómo se lee un currículum, y cuánto tiempo se invierte en hacer un primer filtrado (rara vez más de diez segundos por candidato). Otra, es lo cutres que son la inmensa mayoría de currículums (nunca olvidaré a aquel diseñador gráfico que envió un currículum con el estilo por defecto de Microsoft Word). Tómate tu tiempo para escribir un currículum atractivo a la par que claro, que proporcione la mayor información posible de un solo vistazo y cree cierta curiosidad por seguir leyendo, y tendrás más de medio camino hecho. Otra buena idea es crear una página web con tu perfil investigador (hay varias plataformas, muchas de ellas gratuitas, para hacer esto), … en una palabra: promociónate.

Si llegados a este punto pones cara rara, te recomiendo repensar la idea, muy extendida, de que promocionarte es poco menos que una actividad inmoral. No hay nada malo en apuntar tus méritos cuando te están pidiendo implícitamente que lo hagas. Muy al contrario, el lector de tu currículum estará deseando quitarse de encima la burocracia cuanto antes: no le des la vara con falsas modestias y ve al grano.

Tienes méritos suficientes. Uno tiende a creer que los estudiantes que logran un puesto en el extranjero son excelentes. Esto es, simplemente, falso. Una queja muy común entre estudiantes que buscan un puesto como doctorando es: “pero es que no tengo publicaciones”… solo puedo decir: pues claro, ¿cuántos recién licenciados/”masterificados” conoces que tengan publicaciones?

Entonces, ¿cuáles son mis méritos? Bueno… para empezar, tienes una carrera y ganas de continuarla. Te sorprendería cuán a menudo eso es suficiente. Por supuesto, cualquier elemento que destaque será de gran ayuda, y hay varios de ellos al alcance de un estudiante: idiomas, conocimientos técnicos como lenguajes de programación, publicaciones en sitios de divulgación, tutorías en grupos piloto en la universidad, etcétera…

¿Podrías conseguir un perfil más atractivo añadiendo otro idioma, logrando un mejor nivel en inglés, otro máster, …? Sin duda podrías, pero ese proceso de perfeccionamiento puede prolongarse ad infinitum e, insisto, ya tienes méritos suficientes, aquí y ahora.

Por cierto, ¿has oído hablar del síndrome del impostor?

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Nadie en su sano juicio espera que un español hable inglés perfecto. Otra pega habitual es el idioma. ¿Hablas inglés con acento de Badajoz? Entonces hablas inglés. Te sorprendería la diversidad de acentos y niveles de inglés que se puede encontrar en un departamento con investigadores internacionales. Si eres capaz de mantener una conversación, incluso aunque sea con cierta dificultad, hablas inglés de sobra.

Participa en grupos de correo. Suena muy a finales de los noventa, pero lo cierto es que la mayor parte de información de calidad, al menos en mi caso, ha llegado por esa vía. En algunos grupos relacionados con universidades hay un goteo constante de información sobre puestos abiertos.

Subrayo lo de algunos… pues también hay grupos universitarios infames. Todavía recibo correos del newsletter oficial de una universidad cuyo nombre omitiré por no ahondar en la herida, en el que tras más de 600 mensajes aún no he recibido uno solo que me interese lo más mínimo. Al final lo he acabado siguiendo por curiosidad.

Si te preocupa el bombardeo de correos que vas a recibir, recuerda que la mayoría de clientes de correo electrónico permiten configurar filtros para que la lluvia de correos no sea una molestia.

No todos los puestos están tan abiertos como parece. Es posible que para cuando des con un puesto interesante ya hayan encontrado a un candidato, a pesar de que aún no haya vencido la fecha. A veces pasa y no hay que desanimarse por ello. Puede pasar, también, que te recomienden presentarte al puesto de un colega: no desaproveches estas oportunidades, pues significan 1) que el puesto que te proponen realmente está abierto y 2) que alguien que conoce los detalles proyecto te considera un candidato fuerte… luego seguramente lo seas.

Que un buen puesto te lleve a un buen destino. Es posible que haya países que te atraigan más que otros. Quizá quieras permanecer en Europa, o padezcas una irracional fobia a, pongamos, los italianos :p. Sea como sea, sé muy consciente de que cuánto más extensa sea tu búsqueda desde el punto de vista geográfico más probabilidades tendrás de encontrar algo donde encajes. Es un mero problema de probabilidad condicionada: es más probable que un buen puesto te lleve a un buen destino, que que sea un buen destino el que te lleve a un buen puesto.

Sobre las motivaciones para convertirse en un científico emigrante, probablemente hable más adelante. Si te has tomado la molestia de llegar hasta el final, probablemente ya las conozcas bien.

“Ya está el listillo este tocando las narices… ¡pues claro que sé contar!”, pensará el lector. Y no seré yo el listillo que lo ponga en duda… sin embargo, quisiera hablar de algunas situaciones curiosas en las que contar no es para nada un ejercicio sencillo.

Os recuerdo que, por ejemplo, no nacemos sabiendo contar. Permitid que me ponga nostálgico recordando aquellos tiempos de total ignorancia en lo tocante a números. Tengo la suerte de conservar el que fue mi primer libro de matemáticas. Se llama Bubi cuenta [1]. Tendría unos 3 años cuando cayó en mis manos. Trataba de un niño pequeño que aprendía a contar hasta diez. ¿Y cómo contaba?, pues como es habitual en los niños, ayudándose de los dedos. Así, ante cuatro cachorritos, Bubi mostraba orgulloso cuatro dedos.

Naive, simplón, rayando en la chorrada… lo que queráis, ¿pero cómo os quedáis si os digo que Bubi estaba estableciendo una biyección entre el conjunto que quería contar (los cachorros) y un conjunto conocido (sus dedos)?

Para que nadie se agobie con tecnicismos, os diré que una biyección es una relación “de ida y vuelta”. A cada cachorro le corresponde un dedo, y viceversa. No hay ningún dedo que “represente” dos perritos, ni ningún perro que “se quede sin dedo”, ni ningún perro que sea contado dos veces por el mismo dedo. Es fácil de visualizar trazando líneas que van de cada dedo a cada perro:

Ejemplo de biyección
Ejemplo de biyección

Otro palabro que usamos en matemáticas es cardinal. El cardinal de un conjunto es, simplemente, la cantidad de elementos que contiene. Así, el cardinal de un conjunto de cuatro perros es… cuatro. ¿Sencillo, verdad? El libro bien podría haberse titulado Bubi mide cardinales, pero Bubi cuenta suena mucho mejor.

Un matemático te dirá que si puedes establecer una biyección entre el conjunto cuyo cardinal quieres determinar, y un conjunto de cardinal conocido, entonces ambos tienen el mismo cardinal. Suena muy marciano, pero léelo otra vez, no es más que la definición pedante de contar con los dedos. Si cada dedo tiene su elemento, y cada elemento su dedo, entonces hay tantos elementos como dedos.

Por supuesto, aparecen problemas cuando queremos contar hasta más de diez, pues nos quedamos sin dedos… pero podemos seguir usando el mismo razonamiento si encontramos otro conjunto con el que comparar. Ese conjunto, esa “mano de infinitos dedos”, es precisamente el conjunto de los números naturales, a menudo llamados números, sin más.

Podemos entender los números naturales como una mano de infinitos dedos
Podemos entender los números naturales como una mano de infinitos dedos

Llegados a este punto hace ya rato que Bubi se ha aburrido de nosotros y está con sus juguetes. Como adultos aburridos que somos, hemos extraído lo fundamental y entendemos el concepto de contar como algo abstracto. Si no has estudiado matemáticas antes, pensarás que hemos llegado a un punto muerto, pero lo cierto es que es ahora cuando la cosa se pone interesante: nuestra nueva herramienta abstracta nos permite hacer algunos prodigios, como por ejemplo contar hasta el infinito.

Por ejemplo, podemos probar que hay tantos números pares como números impares, a pesar de que ambos conjuntos sean infinitos. Para ello, construimos una regla que asigna a cada número par un (y solo un) “compañero” impar. Esta regla puede ser, simplemente, sumar 1.

Así, son “compañeros” (0,1), (2,3), (4,5), …

Aquí vemos que existen tantos números pares como impares
Aquí vemos que existen tantos números pares como impares

Otra curiosidad, podemos probar que los números naturales siguen teniendo la misma cantidad de elementos aunque cortemos un trozo, por ejemplo, empezando a contar en el 5:

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Y aún más curioso, podemos probar que el cardinal de los números naturales (esto es, pares + impares) es igual al de los pares. Es decir: si quitamos los impares, ¡el conjunto de los naturales sigue teniendo exactamente el mismo tamaño!

Una regla que asigna un número par a cada natural, y viceversa, es simplemente una multiplicación por 2. De modo que formamos los grupos (1, 2), (2, 4), (3, 6), …

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Estas y otras muchas cosas raras suceden cuando uno cuenta hasta el infinito, pero ya ha sido suficiente por hoy. Espero haber demostrado que saber contar no tiene nada de trivial.

[1]: Joe can count, de Jan Ormerod

Aunque probablemente el número más famoso de todos sea pi, existe uno que a mí me gusta aún más: el número e.

Del mismo modo que pi, e aparece en la descripción de montones de fenómenos naturales como la desintegración radiactiva, la evaporación en lagos, el crecimiento de poblaciones, y un larguísimo etcétera.

La propiedad más interesante del número e se pone de manifiesto cuando lo elevamos a otros números. Concretamente, cuando construimos la función exponencial, esto es, la función que coge números, eleva e al número que le has dado, y te devuelve el resultado. Los matemáticos escriben esto así:

f(x) = e^x

Otras funciones exponenciales más fáciles de visualizar se consiguen utilizando bases distintas a e. Como por ejemplo:

g(x) = 2^x

h(x) = 3^x

Todas las funciones que elevan un número fijo (llamado base) a x tienen una interesante propiedad: se parecen mucho a su propia derivada. El applet que muestro a continuación representa, en negro, la función exponencial en base a, y en rojo, la derivada de esta función. Jugando con el dial puedes variar el valor de a, ¿qué observas cuándo a se acerca al valor de e?

La función e^x tiene la extraordinaria propiedad de ser exactamente igual a su propia derivada para cualquier valor de x.

Muy bien, acabamos de descubrir lo que parece una curiosidad matemática más del número e… ¿o es algo más que una curiosidad? Trataré de convencer al lector que es precisamente esta peculiaridad tan aparentemente abstracta es uno de los principales motivos por los que el número e aparece hasta en la sopa.

Lo explicaré a mi manera: en la naturaleza hay montones de cantidades cuya velocidad de variación es proporcional a sí misma. Por ejemplo, la cantidad de bacterias en un cultivo crece proporcionalmente a la cantidad de bacterias presentes (esto es, cuántas más bacterias hay, más bacterias nacen cuando estas se reproducen, sin entrar en detalles). Otro ejemplo, algo menos natural pero quizá más cotidiano, es un interés compuesto. Tus intereses son proporcionales a la cantidad de dinero que tienes invertida… luego esperamos que aparezca el número e en el cálculo de tus beneficios (como efectivamente, aparece).

En matemáticas, la velocidad de variación de una cantidad respecto a otra no es ni más ni menos que la derivada.

Hablemos de ecuaciones diferenciales

Por aquello de no espantar innecesariamente a los lectores, dejo para este apéndice final algunas consideraciones un poco más avanzadas.

Todo lo que hemos dicho anteriormente se puede resumir en que el número e aparecerá de forma natural en cualquier fenómeno que pueda describirse por ecuaciones del tipo:

\frac{dx}{dt} = k \cdot x

Más aún, el número e aparece también en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, aunque por motivos más sutiles que reservaremos para futuros artículos.

Este artículo forma parte de la sección Ciencia interactiva. El material original está disponible en GeoGebraTube.

Además, participa en la Edición 6.X “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

En 2012 escribí, para esta misma casa, este artículo explicando paso a paso cómo estimar el valor de pi usando gotas de lluvia. Si no sabes de qué va la cosa, te recomiendo que le eches un vistazo antes de continuar.

En 2015 hablé de este mismo asunto en Naukas Bilbao, puedes ver el vídeo aquí.

Y hoy, continuando con la obsesión por el tema, publico aquí este applet interactivo del asunto, para que juguéis un poco con el número de gotas.

Este artículo forma parte de la sección Ciencia interactiva. El material original está disponible en GeoGebraTube.

Motivación:

La publicación de applets interactivos es, junto con la experiencia de investigar en el extranjero, uno de los hilos conductores de este blog. Puedes encontrar todos los applets publicados hasta el momento aquí.

Desde mis tiempos de estudiante de licenciatura, he ido creando una serie de programas informáticos, la mayoría de ellos relativamente sencillos y con un marcado carácter pedagógico, que creo interesante compartir. En su momento los cree para mi propio uso, pues opino que no hay mejor manera de estudiar una materia que peleándose aplicando la teoría. En resumen, si eres capaz de “explicarle” la materia a un ordenador, es que la has entendido de verdad. Por otro lado, la potencia gráfica y la posibilidad de manipular estructuras complejas de forma interactiva ayuda a que el conocimiento llegue por vía visual y manual, e incluso a menudo sorprende con conceptos nuevos que habían pasado desapercibidos: a veces es tu propio applet el que te da una lección inesperada.

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Requisitos técnicos:

Dichos applets han sido creados con GeoGebra, un programa especialmente apropiado por su enorme sencillez y por la posibilidad de ejecutar los applets en un simple navegador.

Daré acceso también al código, de modo que si el interés del lector es aún mayor pueda editar y modificar los applets a su antojo. Para esto será necesario utilizar GeoGebra, ya sea en su versión en la nube, de móvil/tablet o escritorio. Y aquí aparece la tercera ventaja de GeoGebra: es gratuito.

Tengo también programas escritos para Matlab, Maple o Mathematica. No descarto publicarlos también en un futuro, pero dada la mayor dificultad de su uso, no serán prioritarios.

Público objetivo:

En mi humilde opinión, los applets serán especialmente interesantes para estudiantes en niveles desde instituto hasta primeros años de universidad.

Debido a la variedad de conceptos tratados, y aunque haré todo lo posible por acompañarlos de un artículo que clarifique qué se pretende mostrar en cada uno, habrá applets apropiados para varios niveles. Algunos serán fácilmente comprensibles para todos los públicos, y otros requerirán cierta familiaridad con algunos conceptos matemáticos.

¡No funciona!

Si experimentas cualquier problema técnico con los applets, agradeceré enormemente que me lo hagas saber a través de los comentarios.

Era una tranquila mañana de lunes. Como cada día, fui en bici hasta la universidad por las calles empedradas de ladrillo, sin apenas tráfico, respirando tranquilidad.

Llevaba un rato trabajando en el despacho cuando, por encima del bucólico lago que se ve desde mi ventana, vi pasar cuatro gigantescos helicópteros Chinook CH-47 en fila.

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Probablemente, pensé, están haciendo maniobras en la cercana base aérea de Arnhem. Me levanté para ver los helicópteros, y noté que sonaban sirenas en la calle. Inmediatamente, mi teléfono empezó a vibrar, pero no era una llamada, sino un mensaje de emergencia enviado por la red móvil. No era un mensaje cualquiera, era… ¡un mensaje de alerta extrema!

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Traducción: Mensaje de control. Su teléfono ha sido configurado para NL-Alert. Usted no tiene que hacer nada. Más información en www.nl-alert.nl

Reconozco que el espectáculo multimedia que tenía delante me asustó lo suficiente como para dudar de mis habilidades idiomáticas, de modo que pregunté a una compañera nativa si ese mensaje significaba que todo iba bien… o que el mar del Norte se nos venía encima.

Con total naturalidad me explicó que se trataba del simulacro de desastre que, al mediodía del primer lunes de cada mes, se hace en todo el país. Como leéis, el país entero se paraliza una vez al mes durante exactamente un minuto y veintiséis segundos. Si oyes las sirenas a otra hora o se mantienen más tiempo encendidas, las instrucciones a seguir son: encerrarse en casa y encender la radio… al más puro estilo de la guerra fría. Más información (en inglés y neerlandés) aquí.

¿Y por qué tanta precaución?, pues porque pese a su bucólica y apacible apariencia, los Países Bajos son un territorio propenso a los desastres. El más obvio de ellos es el de inundación (que incluso se ha llegado a utilizar como arma ofensiva en tiempos de guerra, como comprobaron los tercios españoles en el siglo XVI), siendo la más grave la que sucedió en 1953 y se llevó por delante más de 1800 vidas humanas, y que motivó entre otras cosas la construcción de la estructura móvil jamás creada, el Maeslantkering.

Cuando se me pase el susto hablaré del fascinante asunto de la ingeniería hidráulica holandesa. Y lo digo sin ironía… es alucinante.

La clase, de física de partículas, estaba siendo especialmente densa. Además, el profesor parecía acelerado. Llenó varias pizarras con cálculos de secciones eficaces, entre otras menudencias, saltándose pasos que, según él, eran triviales… pero que para nosotros, cinco años después de comenzar la carrera en física, estaban siendo literalmente imposibles de seguir prácticamente desde el principio.

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Todos esperábamos el momento en el que se diese la vuelta para interrumpirle amablemente. Sin embargo, extasiado en sus cálculos de pizarra, no se giró ni una vez en toda la hora. Así dimos un repaso a electrones, neutrones, neutrinos, antineutrinos, muones, …

En un momento dado, el profesor se detuvo en seco (o mejor dicho, nos lo pareció… pues realmente había concluido su demostración). Se volvió hacia nosotros, con una sincera sonrisa, sin notar hasta qué punto estábamos perdidos. Nos dijo:

“¿Alguna pregunta?”

Difícil situación. Quedarse callados no era una opción, pues no era creíble que no hubieran surgido dudas. De hecho, la clase entera era un interrogante para nosotros, pero tampoco resultaba educado hacerlo notar muy a las claras. Finalmente, alguien rompió el tenso silencio:

“Sí. Una duda: ¿muón se escribe con hache intercalada?”

Fiel a mi papel de empollón, no paro de pensar en matemáticas ni siquiera en el gimnasio. Contaré aquí una de las últimas tonterías que se me pasó por la cabeza mientras hacía ejercicio en una de esas máquinas conocidas como bicicletas elípticas. De paso aprovecharé para estrenar la sección Ciencia interactiva y probar qué tal funciona GeoGebra por aquí.

Me refiero a este tipo de aparatos
Me refiero a este tipo de aparatos

Y es que, si a cualquier ser humano normal le dices que la bicicleta se llama elíptica porque los pies describen una elipse, se quedará tranquilo. Pero si esa persona ha estudiado chorrocientos créditos de geometría diferencial y sabe que elipse significa algo más concreto que curva en forma de huevo… tendrá preguntas. Preguntas que. si uno es prudente, guardará para sí para evitarse un tirón de calzones, pero que rondarán inevitablemente su cabeza.

De modo que, después de entrenar y ducharme, hice la siguiente simulación para constatar que, en general, los pies no trazan una elipse en la máquina elíptica.

Por cierto, la animación es interactiva. Podéis mover el eje de la barra (no muy lejos, que me desmembráis al muñeco), añadir o borrar los círculos auxiliares que generan el movimiento de brazos y piernas del muñeco, y reiniciar el trazo rojo.