Series de Taylor

Existen dos conceptos que ponen los pelos de punta a los estudiantes de primero de cualquier carrera científica. Aún recuerdo cómo, en mi primer año de física, bastaba invocarlos para provocar palpitaciones a mis compañeros de clase. Me refiero al concepto de autovector y al concepto de serie de Taylor. A pesar del temor inicial (motivado, quizá, porque es el primer material matemático que no se ha cubierto, ni de lejos, en el instituto) y de su aparente complejidad, resulta que ambos conceptos son bastante sencillos e increíblemente útiles en una futura vida profesional.

De los autovectores ya dejé un applet en una entrada anterior (link aquí). Hoy hablaremos de la otra bestia negra, las series de Taylor.

Si echamos un vistazo a su definición:

MAMOg

lo más probable es que huyamos despavoridos. Intentaré dar una explicación más intuitiva:

Lo que pretende conseguirse con una serie de Taylor es aproximar una función cualquiera (f(x)) por un polinomio (la serie). Salvo que f(x) sea de entrada un polinomio, nuestra aproximación nunca será exacta (a no ser que usemos polinomios con infinitos términos, asunto del que hablaremos más adelante)… ¡ya empezamos con las chapuzas! Ante este problema, tenemos que escoger un punto alrededor del cuál queremos que nuestra aproximación sea lo más acertada posible. Este es el punto que hemos llamado x0 en la ecuación anterior, pero por favor, ¡no la mires aún!

Para que nuestro polinomio aproximante en torno a x0 sea digno de ese nombre, como poco, tendrá que ser igual a la función en dicho punto, ¿no? Esto equivale a que el polinomio p(x) cumpla la siguiente condición:

p(x_0) = f(x_0)

El caso más simple que verifica la ecuación anterior es un polinomio de orden 0, esto es, un polinomio constante. Gráficamente vemos que nuestra aproximación es muy simplona:

Aproximación de orden 0 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 0 en torno a x0 = -1

¿Cómo podríamos mejorarla? Por ejemplo, haciendo que la recta sea tangente a la curva en el punto. Gráficamente:

Aproximación de orden 1 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 1 en torno a x0 = -1

Analíticamente, esto se corresponde con exigir a nuestro polinomio p(x) que tenga la misma derivada que f(x) en el punto x0. Es decir, permitir polinomios, ahora, de grado 1, y exigir:

p'(x_0) = f'(x_o)

Pero, ¿por qué detenerse aquí?, ¿qué pasa si exigimos también igualdad en las segundas derivadas? Es decir, algo cómo:

p''(x_0) = f''(x_o)

Echando un vistazo al gráfico vemos que, en efecto, igualar las segundas derivadas mejora nuestra aproximación:

Aproximación de orden 2 en torno a x0 = -1
Aproximación de orden 2 en torno a x0 = -1

Pues bien, la fea ecuación que hemos visto al principio lo único que hace es definir un polinomio cuyas derivadas, todas ellas, son iguales que las derivadas de la función a aproximar:

p'''(x_0) = f'''(x_o)

p''''(x_0) = f''''(x_o)

etcétera.

Cada una de las derivadas que queremos ajustar nos obliga a tener en cuenta un término más en nuestro polinomio, esto es, sumar un monomio más. La pega, como hemos comentado al principio, es que salvo que la función f(x) sea un polinomio, el proceso puede repetirse indefinidamente (empieza a oler a infinito, ¿lo notáis?). En la práctica, por lo general se utilizan series truncadas… es decir, en algún momento paramos de contar. Estas aproximaciones truncadas se llaman aproximaciones de orden n. Así, una aproximación de orden 2 es un polinomio de grado 2 en el que las derivadas segunda, primera y nula se han ajustado.

El siguiente applet puede ser de utilidad para jugar con estos conceptos. Vemos la función f(x) en negro, y los polinomios de Taylor en distintos colores (se pueden mostrar y ocultar a voluntad). Moviendo el punto azul en el eje x modificamos el punto en torno al cuál se aproxima (no dejes de hacerlo, ¡verás a los polinomios agitar sus brazos como un pulpo!). También es posible introducir, en la caja de texto, la función que se desea aproximar.

Puedes descargar el applet en GeoGebraTube.


21 Comentarios

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RaulRaul

Genial artículo.

A mi ninguna de las dos cosas me asustaba, me parecían sencillas.
Lo que me asustaba era el tema de convergencia de series o las integrales impropias.
Estudié primero de Matemáticas.

Un saludo.

AnnaAnna

A mí al principio también me resultaron un poco incomprensibles las series. Ahora las adoro.

JavierJavier

No sé, yo no diría que una serie de Taylor es una cosa fea. Si empezamos a pensar que eso es feo, entonces cualquier cálculo más o menos complicado nos parecerá horroroso, y la ciencia está llena de calculotes. A mí las series de Taylor me parecen bonitas, incluso encantadoras.

AnnaAnna

A mí también. Nos permiten calcular sumas de series, nos permiten aproximar funciones no polinómicas por polinomios y aprovechar para calcular aproximaciones de integrales definidas que no pueden resolverse por la regla de Barrow (no todo es Barrow)

PepePepe

Muy bien el post, pero hay una pequeña cuestión. El polinomio de Taylor no es válido para cualquier función, la función ha de admitir suficientes derivadas. No todas las funciones son continuas y hay menos que sean derivables.

Mario RecioMario Recio

Bastante buen artículo, si previamente se conoce el concepto de derivada.
Felicidades por el bog.

GerardoGerardo

Caramba! que bonito ejemplo! no es lo mismo ver las cosas en puras ecuaciones y números, A VERLAS FUNCIONANDO EN UN GRÁFICO COMO ESE

Pablo Rodríguez

No puedo estar más de acuerdo. Incluso yo, que soy el autor del applet, no me esperaba algo tan vistoso.

Es lo bonito de enseñar conceptos científicos a un ordenador: que a veces él te enseña algo a cambio. Por no hablar de que no hay mejor manera de aprender un concepto que intentar explicárselo a una máquina.

CarmeloCarmelo

En lo personal, las series de Taylor hay que conocerlas bien para que puedan gustarte. Ahora estoy cursando mi primer año de la Licenciatura de Fìsica, y la verdad que la primera vez que vi este tema fue un choque fuerte. Sin embargo, después que superas la curva de aprendizaje pueden ayudarte mucho.
P.D Me encanta este blog. Lo conozco desde hace poco tiempo, ahora creo que soy adicto a èl.

FaradayFaraday

Ciertamente el applet es elegante y fácil de entender. Y si se pudiesen solicitar temas … pues algo sobre ergodicidad …

Miguel J. GalindoMiguel J. Galindo

En el año 1982, dimos en COU los polinomios de Taylor. Recuerdo que teníamos un ordenador HP con una pantallita de fósforo e impresora térmica, toda una pasada. Hice un trabajo de programación en BASIC de los polinomios de Taylor hasta el orden n=3 y tratábamos de verlo gráficamente en pantalla e impresora. Algo similar al applet, mucho más rudimentario. El programa tenía varias docenas de líneas y funcionaba! Del trabajo se publicó un artículo en la revista del Instituto (mecanografiado en la Olivetti, por supuesto…). Me ha encantado el applet y tu artículo, me hizo recordar el mío …

Pablo Rodríguez

Hacer algo como esto en 1982, y a nivel de COU, tiene muchísimo mérito. La mayoría del trabajo en mi applet lo hace GeoGebra. Yo soy poco más que el primate que oprime las teclas :p

pepepepe

La idea básica del polinomio de Taylor de una función en un punto es que la función y su polinomio coincidan , ellas y sus derivadas sucesivas, en ese punto. Cuando derivas el polinomio los terminos en (x-x0)^n se convierten en n (x_x0)^(n-1), al derivar otra vez en n (n-1)(x-x0)^(n-2) etc. Con la primera derivada el término constante se hace cero. Con la segunda derivada se anula el término en (x-x0), etc. Por otra parte , si el valor de n es grande respecto a las veces que derivas al sustituir X por x0 el factor (x-x0)^n se anula también .
En definitiva hay que dividir por n factorial para que coincidan las derivadas del polinomio de Taylor y la función en x0.
Haz la prueba con n=3 o n =4

LuntakLuntak

Pues si asustan las Series de Taylor, más asustan las Series de Laurent… xD

PabloPablo

Cuando estudié esto en primero de carrera, simplemente memoricé el procedimiento para repetirlo en el examen y no llegué a entenderlo del todo bien. Ayuda mucho la visualización gráfica.

OrlandoOrlando

Buenas, gracias por el artículo, el applet está muy chulo.
Yo he estado tratando de entender la demostración del Teorema de Taylor, ese donde incluye el término complementario Rn. Pero me pierdo cuando introducen una función auxiliar F(t), cuya derivada parece tener una propiedad telescópica.
No alcanzó a comprender de donde sacan esa función F(t), si alguien conoce algún libro o artículo donde éste bien explicado eso, se los agradecería muchísimo.
PD: Si tuviera gráficas esa explicación, genial, pero vamos que soñar no cuesta.
Gracias.

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