¿Para qué sirve el elemento neutro?

La relación con los libros de matemáticas suele ser poco cordial. Por lo general, sus contenidos son duros de entender, y requieren un tipo de lectura muy distinto al requerido por, por ejemplo, una novela. Con eso y con todo de vez en cuándo todos nos hemos topado con enunciados tan sencillos que parece mentira que alguien se tome la molestia siquiera de escribirlos. Uno de los más conocidos es el de la descripción de los elementos neutros.

No subestimes el poder del cero
No subestimes el poder del cero

En lenguaje coloquial todo el mundo entiende que sumar cero o multiplicar por uno es lo mismo que no hacer nada. Pues bien, un matemático diría que cero es el elemento neutro de la suma, y uno el de la multiplicación.

Dos auténticas chorradas, ¿verdad? Pues bien, aunque parezca mentira estos resultados no son solo importantes sino que incluso pueden ser útiles para resolver problemas. Y no me refiero precisamente a problemas avanzados, sino al tipo de problemas que pueden caerte en un examen en el instituto.

Como por ejemplo, cambiar las unidades de una magnitud de litros a metros cúbicos, o denewton a dina (afortunadamente en desuso), etcétera. Este tipo de problemas son un quebradero de cabeza para la gran mayoría de estudiantes. Se trata de cálculos rutinarios con muchas probabilidades de cometer un error.

Imaginemos un caso fácil: queremos reexpresar 170 centímetros en metros. Una forma de no equivocarse al expresar una magnitud en unidades distintas es… rajarse y expresarla en la unidad original. Así, al menos nadie podrá decirnos que nos hemos equivocado:

170 cm = 170 cm

Sin embargo, esto es como no hacer nada. ¿Un momento?, ¿he oído no hacer nada?, ¡elemento neutro al rescate!, ¡multipliquemos por uno!

170 cm = 170 cm \cdot 1

Una vez más estamos totalmente seguros de que nuestro resultado, al menos, es correcto… aunque no parece muy útil. Curiosamente, podemos mejorarlo recordando que la división de dos magnitudes iguales es idéntica a 1. Por ejemplo, 1/1, 10/10, 15/15… todos valen 1. Es decir:

\frac{igual}{igual} = 1

Y, por ejemplo, dos magnitudes que sabemos que son iguales son 1 m y 100 cm, ¿verdad? Podemos escribir entonces:

\frac{1m}{100cm} = 1

Y también:

\frac{100cm}{1m} = 1

Si volvemos ahora a nuestro cambio de unidades, lo que quisiéramos es multiplicar por algo que:

  1. No se cargue el resultado (es decir, multiplicar por uno)
  2. “Quite” los centímetros
  3. “Ponga” metros

Así pues, buscamos multiplicar por una fracción con este aspecto:

170cm = 170cm \cdot \frac{?m}{?cm}

Si rellenamos las interrogaciones de modo que la fracción entera valga 1, habremos hecho el cambio de unidades correctamente:

170cm = 170cm \cdot \frac{1m}{100cm} = 1.70 m

Este ejemplo puede parecer una chorrada, pero no olvides que es solo un ejemplo. Para cálculos más complicados puede ser tremendamente útil usar el método del elemento neutro, ya que permite encadenar varios pasos de forma clara y ordenada. Por ejemplo, aquí se multiplica dos veces por uno:

1 \frac{g \cdot cm}{s^2} = 1 \frac{g \cdot cm}{s^2} \cdot \frac{1kg}{1000g} \cdot \frac{1m}{100cm} = 10^{-5} \frac{kg \cdot m}{s^2}

Usando el elemento neutro también queda claro cómo se hacen los cambios de unidades con unidades al cubo o al cuadrado, como en este cambio de metros cuadrados a centímetros cuadrados:

1 m^2 = 1 m^2 \cdot \frac{100cm}{1m} \cdot \frac{100cm}{1m}

Hasta aquí hemos usado el elemento neutro para el producto, ¿y el elemento neutro para la suma?, ¿tiene alguna utilidad sumar cero?

En efecto, la tiene: por ejemplo, a veces se puede usar para dividir polinomios (otra tarea común en el instituto). El truco aquí es sumar y restar x (es decir, sumar cero):

\frac{1}{1 - x} = \frac{1 + 0}{1 - x} = \frac{1 + x - x}{1 - x} = \frac{1-x}{1-x} + \frac{x}{1-x} = 1 + x \cdot \frac{1}{1-x}

Y es que en matemáticas, hasta las chorradas tienen su enjundia.


5 Comentarios

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Edgar

Neutro es también el resultado de una cancelación y esto es la base de un bonito juego online: Neutralizador. (Vale, en la vida real un electrón y un protón, en vez de cancelarse, suelen formar hidrógeno…)

En el próximo artículo se podría hablar de la unicidad de los elementos neutros…vamos, yo no recuerdo haber visto neutros hermanos

PapriviPaprivi

Casualmente hoy he estado explicando a mi hijo como cambiar de unidades en física mediante este mismo procedimiento. El profesor que me daba la asignatura de física en el instituto, Ángel era su nombre, y que me explicó hace ya mucho como hacerlo los llamaba “factores de conversión”.

Claudio ivan ticonaClaudio ivan ticona

Muy interesante información para resolver problemas con ideas muy practicas os agradezco

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