La ubicuidad del número e

Aunque probablemente el número más famoso de todos sea pi, existe uno que a mí me gusta aún más: el número e.

Del mismo modo que pi, e aparece en la descripción de montones de fenómenos naturales como la desintegración radiactiva, la evaporación en lagos, el crecimiento de poblaciones, y un larguísimo etcétera.

La propiedad más interesante del número e se pone de manifiesto cuando lo elevamos a otros números. Concretamente, cuando construimos la función exponencial, esto es, la función que coge números, eleva e al número que le has dado, y te devuelve el resultado. Los matemáticos escriben esto así:

f(x) = e^x

Otras funciones exponenciales más fáciles de visualizar se consiguen utilizando bases distintas a e. Como por ejemplo:

g(x) = 2^x

h(x) = 3^x

Todas las funciones que elevan un número fijo (llamado base) a x tienen una interesante propiedad: se parecen mucho a su propia derivada. El applet que muestro a continuación representa, en negro, la función exponencial en base a, y en rojo, la derivada de esta función. Jugando con el dial puedes variar el valor de a, ¿qué observas cuándo a se acerca al valor de e?

La función e^x tiene la extraordinaria propiedad de ser exactamente igual a su propia derivada para cualquier valor de x.

Muy bien, acabamos de descubrir lo que parece una curiosidad matemática más del número e… ¿o es algo más que una curiosidad? Trataré de convencer al lector que es precisamente esta peculiaridad tan aparentemente abstracta es uno de los principales motivos por los que el número e aparece hasta en la sopa.

Lo explicaré a mi manera: en la naturaleza hay montones de cantidades cuya velocidad de variación es proporcional a sí misma. Por ejemplo, la cantidad de bacterias en un cultivo crece proporcionalmente a la cantidad de bacterias presentes (esto es, cuántas más bacterias hay, más bacterias nacen cuando estas se reproducen, sin entrar en detalles). Otro ejemplo, algo menos natural pero quizá más cotidiano, es un interés compuesto. Tus intereses son proporcionales a la cantidad de dinero que tienes invertida… luego esperamos que aparezca el número e en el cálculo de tus beneficios (como efectivamente, aparece).

En matemáticas, la velocidad de variación de una cantidad respecto a otra no es ni más ni menos que la derivada.

Hablemos de ecuaciones diferenciales

Por aquello de no espantar innecesariamente a los lectores, dejo para este apéndice final algunas consideraciones un poco más avanzadas.

Todo lo que hemos dicho anteriormente se puede resumir en que el número e aparecerá de forma natural en cualquier fenómeno que pueda describirse por ecuaciones del tipo:

\frac{dx}{dt} = k \cdot x

Más aún, el número e aparece también en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, aunque por motivos más sutiles que reservaremos para futuros artículos.

Este artículo forma parte de la sección Ciencia interactiva. El material original está disponible en GeoGebraTube.

Además, participa en la Edición 6.X “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.


10 Comentarios

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busgosubusgosu

¿Por qué la función exponencial del numero ‘e’ es igual a su función derivada y otro numero distinto no?
¿Cuál es la relación que lo hace posible?

“En matemáticas, la velocidad de variación de una cantidad respecto a otra no es ni más ni menos que la derivada”

“Velocidad” es un termino correcto para la variante física “tiempo”, para las matemáticas pienso que es más acertado definir derivada como :
En matemáticas, el valor que incrementa o disminuye una cantidad respecto a otra, no es ni más ni menos que la derivada.

Un saludo

PabloPablo

En matemáticas , se dice que la función f es derivable en el punto a si el siguiente limite existe y es finito (un número real) lím cuando x tiende a a es f(x) – f(a)/x – a. Cuando esto ocurre se denota por f´(a) definido como lím cuando x tiende a a de f(x) – f(a)/x-a y a este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a. Ni más ni menos.
Ni velocidades, ni el valor que incrementa o disminuye. En todo caso, se podría hablar de una “tasa de cambio instantánea”. Remarcando lo de instantánea o puntual, porque si no estaríamos hablando de la pendiente o de otra cosa, pero desde luego no del concepto de derivada en matemáticas.
En ciencias siempre es necesario, pero cuando se utiliza “en matemáticas” es crucial: rigurosidad, por favor. Dicho esto, me gusta mucho que se publiquen entradas de todos los niveles de profundidad. Gracias.
Un saludo

Pablo Rodríguez

Ya que has abierto la veda a los consejos de estilo y rigor, te diré que has olvidado dos pares de paréntesis en tu definición de derivada. Además, una derivada puede existir en un punto sin arrojar necesariamente un valor real, pues el concepto de diferenciación se extiende también a los números complejos.

PabloPablo

Que yo sepa, no he dicho lo contrario. El concepto de derivada se puede extender a las funciones de variable compleja sin que su definición difiera de la expresión formal de la derivada de funciones reales. Pero la entrada diserta sobre e, un número real, irracional y trascendente. Ergo añadir esto a mi exposición era trivial, que no carente de rigor expositivo.

En cuanto a los paréntesis, con las velocidades (nunca mejor dicho jeje), se me han pasado. Lleva usted toda la razón, son necesarios.

En lo que respecta al contenido de la entrada no puedo estar más de acuerdo también, el número e es increíble. Es impresionante sus propiedades matemáticas, y como describe y permite modelar tantos fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc.

Da gusto poder hablar y debatir de ciencia con seriedad. Espero sus entradas! Gracias, un saludo.

Hector04Hector04

y dando una vuelta de tuerca, si el exponente es un numero imaginario pasan cosas maravillosas, se pueden representar rotaciones de manera natural, aparece euler y las ec diferenciales se vuelven algebraicas.

detorrdetorr

Leyendo este artículo me he acordado de un chiste malísimo:

Esto es una fiesta de funciones en la que se lo están pasando todos de lujo, bailando, bebiendo… pero e^x está en un ricón, sola. Viendo el panorama se le acerca Cos x y le dice:
-‘Pero tío, estamos en una fiesta, intégrate!’
y e^x responde:
-‘¿Para qué? si da lo mismo…’

XD

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