Pi con gotas de lluvia, versión interactiva

En 2012 escribí, para esta misma casa, este artículo explicando paso a paso cómo estimar el valor de pi usando gotas de lluvia. Si no sabes de qué va la cosa, te recomiendo que le eches un vistazo antes de continuar.

En 2015 hablé de este mismo asunto en Naukas Bilbao, puedes ver el vídeo aquí.

Y hoy, continuando con la obsesión por el tema, publico aquí este applet interactivo del asunto, para que juguéis un poco con el número de gotas.

Este artículo forma parte de la sección Ciencia interactiva. El material original está disponible en GeoGebraTube.


11 Comentarios

Participa Suscríbete

AlejandroAlejandro

Muy bonita, pero si no es mucho pedir como te decían en la entrada pasada, quiero la fórmula del error por favor .

josecbjosecb

El método de Montecarlo está claro que funciona, pero en este caso me baja la precisión al aumentar el número de gotas, en vez de subir.

Pablo Rodríguez

Se debe al modo en que lo he programado: los puntos se recalculan cada vez que se toca el dial, de modo que a veces la precisión cambia más de lo esperable.

Intentaré modificarlo.

Antonio (AKA "Un físico")Antonio (AKA "Un físico")

Si tenemos dos funciones de densidad de probabilidad disjuntas y con formas alejadas de las típicas gausianas, este método de Montecarlo, ¿permitiría sumarlas apropiadamente?; en general sí, pero conozco una publicación donde lo han hecho equivocadamente. Alucínaríais con cómo las han sumado: algo mucho peor que lo que hace Pablo al dejar deliberadamente fuera de su artículo el cálculo de errores.

Pablo Rodríguez

Para componer distribuciones de probabilidad, en general, no basta con sumar término a término, ni siquiera en el caso de las gaussianas. Si no recuerdo mal, involucraba una operación parecida a la convolución.

De todos modos, el método de Montecarlo que describo aquí no tiene nada que ver con componer distribuciones. Utiliza una (y no gaussiana sino uniforme) para muestrear, y nada más.

JavierJavier

Bueno, es que la gracia de este cálculo no es que se calcule pi, en el fondo puedes calcular cualquier número, por ejemplo el 2, haciendo que el área de un recipiente sea el doble que el otro. Como ya han comentado, el asunto no tiene “gracia” porque pi ya aparece en la fórmula. No es tan “sorprendente” como el problema de Buffon, aunque también en el problema aparece pi casi en la definición, si bien de forma no tan evidente.

Para estimar el error se entraría de lleno en temas de probabilidad. Aquí se elude el tema de probabilidad, ya que al final se trata de una distribución uniforme que en el límite equivale al cálculo del área. La función de densidad de la probabilidad es “indistinguible” para cada punto, por tanto todo punto es equiprobable y de ahí que esto funcione. El error cometido es una variable aleatoria y por tanto no existe un “error” determinado, sino una “esperanza del error”. Para calcularla, primero estudiaríamos las variables aleatorias X = “proporción de gotas que entran en el círculo” y luego calcular su función de distribución, que tomaría valores de 0 a 1, siendo F(0)=0, es decir, que la probabilidad de que ninguna gota caiga dentro del círculo y F(1)=1, siendo la probabilidad de que la proporción de gotas que caen en el círculo son 1 (todas) o menor que 1.

De ahí, derivando obtendríamos la función de densidad f(x) y luego podríamos calcular la esperanza del error, que sería la integral de 0 a 1 de xf(x).

Pablo Rodríguez

Solo una aclaración: no es necesario conocer previamente el valor de pi para que este método sirva para estimarlo. Basta recordar que se define como la relación perímetro / diámetro de un círculo, usar el área de un polígono con esquinas en el círculo y aplicar el límite cuando el número de lados tiende a infinito.

Insisto en que no voy a discutir aquí el cálculo de errores, pero te animo a que revises las ecuaciones que muestras. Si bien es cierto que el error es una variable aleatoria, hay algunos errores en las pinceladas que has dado para calcularlo.

M4TES

Este método apareció por primera vez en 1985 en la famosísima revista de divulgación Scientific American, en un artículo de la sección Computer Recreations de A. K. Dewdney, como puede verse en detalle en bit.ly/1DCa9Ke

Jenry BalebonaJenry Balebona

Lo bello de este método, es que puedes calcular cualquier área encerrada por dos o mas curvas sin necesidad de cálculos matemáticos..Y estas áreas representaran soluciones de integrales o ecuaciones diferenciales.
Solo que no deben trabajar con funciones gaussianas, sino con un buen generador de números aleatorios que obedezca a una función de distribución uniforme. Claro está, los lenguajes de computadoras, o mejor dicho los algoritmos existentes, aún generan números pseudoaleatorios el cual nos llevará a un error pequeño pero es un error presente.

Responde a Pablo Rodríguez

Tu email nunca será mostrado o compartido. No olvides rellenar los campos obligatorios.

Obligatorio
Obligatorio
Obligatorio

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Cancelar